Oppgave 1
a) Bestem grenseverdien
, a er en konstant
Flere typer av svulster vokser i henhold til følgende modell
der er svulstens volum ved tiden , og og er positive konstanter.
b) Gi en tolkning av og finn .
c) Angi svulstens vekstrate ( ) ved tiden .
d) Når > vil vekstraten nå et maksimum.
Ved hvilket tidspunkt er vekstraten størst?
Oppgave 2
a) Løs integralet ved bruke Simpsons metode, der intervallet deles i fire like deler.
b) Volumet av en rett sirkulær sylinder er V . Den totale overflaten (sideflaten + bunn- og toppflaten) er S . Vis at radius r i sylinderen er gitt ved ligningen .
c) Figuren under viser at ligningen F = har to løsninger for r > 0, når og .
Finn minste radius med 4 sikre sifre ved bruk av Newtons metode.
Oppgave 3
a) Finn volumet av legemet som fremkommer når flaten begrenset av kurvene og roterer om linjen .
b)
Et kar med vann har samme form som flaten som fremkommer når
=
roterer om
-aksen. Karet skal tømmes gjennom en liten åpning i bunnen. Ved tiden
er høyden av vann i tanken
. Etter en time (
) er vannhøyden
.
Bruk Toricellis lov og finn tiden når tanken er tom for vann.
Oppgave 4
a) Et lodd med masse er festet i enden av en skruefjær med fjærstivhet . Fjæra er festet i taket. Loddet blir satt i vertikale svingninger ved tiden ved at loddet trekkes en avstand bort fra likevektstillingen og slippes med farten . Differensialligningen som beskriver utslaget fra likevektstillingen er gitt ved .
Finn når (kg) og ( ) .
b) Løs differensialligningen
x
c) I atmosfæren og i levende organisk materiale er det en konstant radioaktivitet i atomer av karbon-14. I dødt organisk materiale avtar radioaktiviteten i karbon-14 . Halveringstiden er 5700 år . Endringen av radioaktive karbon-14 -atomer per tidsenhet (aktiviteten) er til enhver tid proporsjonal med antall atomer. Et gammelt trestykke fra en fortidssamling har radioaktive karbonatomer som er 70 % av de radioaktive karbonatomene i tilsvarende trevirke i dag.
Skriv opp differensialligningen som beskriver aktiviteten.
Hvor gammelt er trestykket?