ma1-00-12-12-txt.mws

[Maple OLE 2.0 Object]

Oppgave 1

a) Bestem grenseverdien

Limit(``(1/t-1/(t*exp(a*t))),t = 0) , a er en konstant

Flere typer av svulster vokser i henhold til følgende modell

V(t) = V[0]*exp(beta*(1-exp(-alpha*t))/alpha)

der V(t) er svulstens volum ved tiden t , og V[0], beta og alpha er positive konstanter.

b) Gi en tolkning av V[0] og finn Limit(V(t),t = infinity) .

c) Angi svulstens vekstrate ( dV/dt ) ved tiden t = 0 .

d) Når beta > alpha vil vekstraten nå et maksimum.

Ved hvilket tidspunkt er vekstraten størst?

Oppgave 2

a) Løs integralet Int(exp(t^2),t = 0 .. 1) ved bruke Simpsons metode, der intervallet [0, 1] deles i fire like deler.

b) Volumet av en rett sirkulær sylinder er V . Den totale overflaten (sideflaten + bunn- og toppflaten) er S . Vis at radius r i sylinderen er gitt ved ligningen r*S-2*V-2*Pi*r^3 = 0 .

c) Figuren under viser at ligningen F = r*S-2*V-2*Pi*r^3 = 0 har to løsninger for r > 0, når V = 150*m^3 og S = 167*m^2 .

[Maple Plot]

Finn minste radius med 4 sikre sifre ved bruk av Newtons metode.

Oppgave 3

a) Finn volumet av legemet som fremkommer når flaten begrenset av kurvene y = x og y = x^2 roterer om linjen x = -1 .

b) Et kar med vann har samme form som flaten som fremkommer når y = 1/3 x^2 roterer om y -aksen. Karet skal tømmes gjennom en liten åpning i bunnen. Ved tiden t = 0 er høyden av vann i tanken 8*m . Etter en time ( t = 1 ) er vannhøyden 6*m .
Bruk Toricellis lov og finn tiden når tanken er tom for vann.

Oppgave 4

a) Et lodd med masse m er festet i enden av en skruefjær med fjærstivhet k . Fjæra er festet i taket. Loddet blir satt i vertikale svingninger ved tiden t = 0 ved at loddet trekkes en avstand y(0) = 4 m bort fra likevektstillingen og slippes med farten v(0) = 1 m/s . Differensialligningen som beskriver utslaget y(t) fra likevektstillingen er gitt ved m d^2*y(t)/(dt^2)+k*y(t) = 0 .

Finn y(t) når m = 1 (kg) og k = 1 ( N/m ) .

b) Løs differensialligningen

x dy/dx+2*y = sin(x)+4

c) I atmosfæren og i levende organisk materiale er det en konstant radioaktivitet i atomer av karbon-14. I dødt organisk materiale avtar radioaktiviteten i karbon-14 . Halveringstiden er 5700 år . Endringen av radioaktive karbon-14 -atomer per tidsenhet (aktiviteten) er til enhver tid proporsjonal med antall atomer. Et gammelt trestykke fra en fortidssamling har radioaktive karbonatomer som er 70 % av de radioaktive karbonatomene i tilsvarende trevirke i dag.

Skriv opp differensialligningen som beskriver aktiviteten.

Hvor gammelt er trestykket?