n-te røtter og potenser 

-te røtter
Definisjon	Multiplikasjon	Divisjon

Brøkeksponenter

• RasjonalNevner gjør nevneren i en brøk rasjonal

Logaritmeligninger 

• LøsLigning og solve løser alle slike ligninger

• combine trekker sammen uttrykk

• map brukes for å anvende en funksjon på et utrykk
  

Eksempel 2  Løs ligningen  a)   b)    c)   Løsning  a)
>	>
b)
>	>
c)
>	>
>	>
>	>     >     Her er det bare den positive roten som kan brukes.
Direkte løsning  >	>

Ulikheter 

Bruk av fortegnslinje er vanligvis et nyttig hjelpemiddel når man skal finne ut hvordan fortegnet til et uttrykk varierer med ulike verdier av variabelen Men når man bruker et dataverktøy som Maple er bruk av fortegnslinjer helt unødvendig. 

• solve eller LøsLigning løser også ulikheter

Eksempel 3  Løs ulikheten   Løsning
>     >     >     >   >	>     Vi ser at når  eller

Eksempel 4  Løs ulikheten   Løsning
>	>
>	>
Med LøsLigning får vi svaret direkte.	>
Vi kan også plotte uttrykkene på begge sider av ulikhetstegnet.  >	>

Radianer, grader og enhetssirkel 

Radianer og grader  Det absolutte vinkelmålet i radianer er forholdet mellom buen og radius     Overgang mellom grader og radianer er gitt ved

• OmgjørEnhet regner om fra grader til radianer eller omvendt

• EnhetsSirkel plotter vinkler på enhetssirkelen

>	>
>	>

Sinus, cosinus og tangens til vilkårlige vinkler 

• Med sin , cos , tan og cot må vinkelen være i radianer

• Med Sin , Cos , Tan og Cot må vinkelen være i grader

De inverse funksjonene som gir vinkel i radianer som output er 

• sin = arcsin , cos = arcos , tan = arctan

De inverse funksjonene som gir vinkel i grader som output er 

• InvSin , InvCos , InvTan

Eksakte verdier
>     >	>	>	>	>
>	>     >	>	>	>
>	>	>	>     >	>
>	>	>	>	>     >

Cosinussetningen 

Eksempel 5  I er cm og cm. Regn ut     Løsning  Cosinussetningen gir  >   >   >   >

Det er altså to løsninger.  >   NB! Med kommandoen Trekant blir den oppgitte vinkelen, her plassert i origo og bokstaveringen er mot urviseren. Da blir på figuren til venstre og blir   >

Høydesetningen i en trekant 

• TrekantHøyder plotter en trekant med høyder

>     >

>       >

Eksempel 6  I er og Høyden fra til og høyden fra til skjærer hverandre i skjærer i Beregn   Løsning  Vi plasserer i origo og får følgende koordinater for og
>   >	>     finnes av  >     eller ved  >     >

Sirkel, ellipse, hyperbel og parabel 

• Sirkel plotter en sirkel, skriver opp ligningen for sirkelen på standard form og oppgir sirkelens radius, sentrum og areal

• Ellipse plotter en ellipse, skriver opp ligningen og oppgir sentrum, brennpunkter, store og lille akse, eksentrisitet og styrelinjer

• Hyperbel plotter en hyperbel, skriver opp ligningen og oppgir sentrum, brennpunkter, eksentrisitet, styrelinjer og asymptoter

• Parabel plotter en parabel, skriver opp ligningen og oppgir brennpunkt, toppunkt og styrelinje

• FullstendigKvadrat  gjør om et kvadratisk uttrykk til et fullstendig kvadrat

Eksempel 7  Finn sentrum og radius i sirkelen Plott sirkelen.  Løsning
>   >	>

Eksempel 8  Hva fremstiller ligningen   Løsning
>	>
>	>
Ligningen fremstiller en ellipse med sentrum i og store halvakse og lille halvakse	>

Eksempel 9  Hva fremstiller ligningen   Løsning
>	>
>	>
Ligningen fremstiller en hyperbel med sentrum i og reell akse paralell med -aksen. og	Asymptotene finnes ved å løse ligningen  >
>	>

Eksempel 10 a) Hva fremstiller ligningen ?   b) til parabelen med brennpunkt i og styrelinje   Løsning
a)   >   Ligningen fremstiller en parabel.  >	b)   >

Vektorer 

• LagVektor skriver ut en vektor med pilsymbol. Det samme fåes ved bruk av vektorpaletten

• Vektor plotter en vektor når tallstørrelser er oppgitt

• PlottVektorSum plotter en sum av vektorer

• Lengde beregner

>

>

Eksempel 11  Plott vektorene og når og   Løsning
>   >	>
NB! Her velges fargene automatisk slik at fargene på vektorene vil kunne være annerledes enn de gitte. Resultantvektoren er alltid rød.  >	>

Eksempel 12  Plott vektoren og når og   Løsning
>   >	>
Her plottes    >	Så plotter vi .  >

Avstand mellom punkt og linje og mellom to linjer 

• VinkelLinjeLinje beregner vinkelen mellom to linjer

• VinkelLinjePlan beregner vinkelen mellom en linje og et plan

• VinkelPlanPlan beregner vinkelen mellom to plan

• AvstandPunktLinje finner avstanden fra et punkt til en linje

• AvstandLinjeLinje finner avstanden mellom to linjer

Eksempel 13  En linje er gitt ved parameterframstillingen   a) Finn et punkt på linjen og en retningsvektor   b) Finn avstanden fra punktet   Løsning  >
a) Vi setter inn i   >     Retningsvektoren blir  >     b)   >     >     >     >	Kontroll  Med AvstandPunktLinje får vi  >

Grenseverdier  

• Grenseverdi beregner grenseverdien av et uttrykk
  

Eksempel 14  Finn grenseverdien dersom den eksisterer.  a) b)   Løsning  >
a)   >	b)   >     Vi benytter Asymptote funksjonen for å plotte grafen. Asymptoter behandles i kap. 7.
Vi beregner de ensidige grenseverdier.  >     >     Se figuren til høyre.	>

Definisjon av den deriverte 

Definisjon av den deriverte  Den deriverte av er gitt ved

• diff eller Derivere finner den deriverte til et uttrykk

• Derivasjon animerer grafene til en funksjon og dens deriverte

• D(f)(a) eller  f'(a) finner den deriverte av f i punktet a

• Stigning animerer sekanten gjennom punktene P og Q inntil sekanten faller sammen med tangenten til f(x)  i punktet P

Eksempel 15  Finn   når   . Hvor raskt vokser når   Løsning
>   >	>     >
Vi regner ut ved hjelp av definisjonen.
>	>

Sammensatte funksjoner og kjerneregelen  

>   Kjerneregelen ligger innbakt i Maples derivasjonskommando.

>     Her er

Eksempel 16  Regn ut når   a) b)   ,  c)      d)   ,  e)   , f)      Løsning
a)   >	>
b)   >   >	>     >
c)   >	>
d)   >	>
e)   >	>
f)   >	>

Funksjonsdrøfting 

• Funksjonsdrøfting plotter grafen til f , fargelegger områder med ulik krumning for f  og beregner nullpunkter, kritiske punkter (ekstremalverdier), vendepunkter og randpunkter.
  

Eksempel 17  Drøft funksjonen ,   Løsning
a)  >   >	>     Her ser vi at har ulik fortegn på hver side av et vendepunkt. Vi tar en test på hver side av   >

Regresjon 

Begrepet regresjon eller regresjonsanalyse betegner en metode for kurvetilpasning av innsamlede data. Den desidert mest utbredte modellen er den såkalte lineære regresjonsmodellen gitt ved den rette linjen som er best mulig tilpasset  observasjoner/data. Prinsippet for å finne konstantene og baserer seg på minste kvadraters metode. Det betyr at summen av kvadratene av vertikal avstand fra observasjonspunktene til den rette linjen skal være minst mulig.

• Regresjon utfører kurvetilpasning ved minste kvadraters metode. Metodene er lineær tilpasning, eksponentiell tilpasning, potens tilpasning, polynom tilpasning, sinus tilpasning, cosinus tilpasning og fritt valgt modell tilpasning.

Eksempel 18  Finn minste kvadraters linje for datapunktene    -1  0  1  2  3  4  5  6    10  9  7  5  4  3  0  -1  Løsning
>	>

Eksempel 19  Finn en logistisk tilpasning av typen  for datapunktene gitt ved   Løsning
>   >   >	>

Integrasjon 

• Integral beregner både ubestemt og bestemt integral

• int beregner et ubestemt integral, men tar ikke med den vilkårlige konstanten

• Substitusjon utfører integrasjon ved substitusjon

• DelvisIntegrasjon utfører delvis integrasjon

• DelbrøkOppspalting utfører delbrøkoppspalting

Eksempel 20  Beregn  a)   ,   b)  ,   c) d) e)   Løsning
a)  >	b)  >
c)  >	d)  >
e)  >	Kontroll  >

Eksempel 21  Beregn  a)   ,   b) ,   c) d) e)   Løsning
a)  >   >     >	>     Direkte integrasjon  >
b)  >   >     >	>     >     Direkte integrasjon  >
c)  >     >     >	>     Direkte integrasjon  >
d)  >   >     >	>     Direkte integrasjon  >
e)  >   >     >	>     Direkte integrasjon  >

Eksempel 22  Regn ut  a) b)     Løsning
a)   >   >     >	>
b)   >   >     >	>

Eksempel 23  Regn ut  a) b) c) d)   Løsning  a)
>   >     >     b)	Her velger vi   >
>   >     >     c)	Her er   >
>   >     >	Velger   >
d)   >   >     >	Her velger vi   >
>   >     >	Her er   >

Eksempel 24  Regn ut a)   b)  c)    Løsning
a)  >   >	Da er  >
>     >	>     Med DelbrøkOppspalting får vi resultatet direkte  >
>	Direkte integrasjon  >
b)   >   >     >	>     >
c)  >   >	>     >

Volum av omdreiningslegemer 

• RotasjonsVolum plotter og beregner volumet av et omdreiningslegeme
  

Eksempel 25  Beregen volumet av det legemet som framkommer ved at flatestykket mellom -aksen og kurven roterer om -aksen når  a) b) c)   Løsning  a)
>   Volumet er da gitt ved  >     Eller ved  >	>     Klikk på figuren og drei på den.
b)   >   Volumet er da gitt ved  >     Eller ved  >	>     Klikk på figuren og drei på den.
c)   >   Volumet er da gitt ved  >     Eller ved  >	>     Klikk på figuren og drei på den.

Differensialligninger og løsningskurver 

• LøsDiffLigning eller dsolve løser differensialligninger

Eksempel 26  a) Løs differensialligningen   b) Løs differensialligningen , Plott retningsdiagrammet og grafen til for   c) Beregn grenseverdien for når   d) Finn vekstfarten når = 4    Løsning
a)   >     Den generelle løsningen er  >     Retningsdiagrammet blir   >	b)   >     >
c)   >   >     når   >	d)   >     Vi setter inn på høyre side og får vekstfarten  >

Eulers metode 

Eulers metode  En tilnærmet løsning av differensialligningen    er gitt ved Euler's metode      der er en konstant steglengde.

• EulersMetode viser den numeriske løsningen med Eulers metode ved animasjon

• LøsDiffLigning løser en differensialligning både eksakt og numerisk og plotter retningsdiagrammet til en første ordens differensialligning når intervallene for og er gitt

>   >     Vi får retningsdiagrammet med  >	>
>   >     Klikk på figuren og start animasjonen.	>

Eksempel 27  Løs differensialligningen ved Eulers metode.   og ved "eksakt" numerisk metod
Løsning   >   >     Klikk på figuren og start animasjonen.	"Eksakt" numerisk metode  >   >
>     Den eksakte løsningen faller sammen med den "eksakte" numeriske løsningen. Klikk på figuren og start animasjonen.

Aritmetiske og geometriske rekker 

• AritmetiskRekke beregner det nte leddet og summen

• GeometriskRekke beregner det nte leddet og summen
  

Eksempel 28  I en aritmetisk rekke er første ledd 4 og differansen er 2.  a) Finn ledd nr 200.  b) Finn en formel for ledd nr n, . c) Finn en formel for summen av de første leddene, . Finn når   Løsning
a)  >   >     eller  >	b)  >     eller med   >
c)  >	>     >     Antall ledd er

Eksempel 29  I en geometrisk tallfølge er og .  a) Finn ledd nr 8. b) Hvilket nummer i følgen har leddet 327680? Løsning
a)  >	b)  >
>   >	>

Konvergens og uendelige rekker 

Eksempel 30  Finn konvergensområdet og regn ut summen av rekken  a   b) 1  Løsning
a)   >     >     Konvergensområdet er for	>     eller ved formelen  >
b)   >     >   er alltid positiv.  >   Konvergensområdet er for	>     eller ved formelen  >

Binomialkoeffisienter 

Eksempel 31  a)Beregn   b) Skriv opp de første 9 og 11 rekker i Pascals trekant    c)  for   Løsning  a)   >       >     b)   >                       >                         c)   >   >     >     >     >       >     >     >     >

Simulering 

Simulering av kast med en terning kan gjøres i Maple med kommandoen rand . 

• rand ( ) gir et tilfeldig tall med 12 siffer
  rand(a,b)()  gir et tilfeldig tall mellom a og b

eller med tilsvarende kommandoer i pakken vgs , 

• TilfeldigTall gir et tilfeldig tall

• Histogram plotter et histogram

• StolpeDiagram plotter et histogram med enten absolutte eller relative frekvenser

• FrekvensTabell skriver ut en frekvenstabell

>	>
>	>
>	>

Normalfordeling 

>     ca 68.27% av observasjonene ligger mindre enn ett standardavvik fra middelverdien

>     ca 95.45% av observasjonene ligger mindre enn to standardavvik fra middelverdien

>     ca 99.73 % av observasjonene ligger mindre enn tre standardavvik fra middelverdien

Statistikk 

Noen kommandoer i vgs -pakken er: 

• Middelverdi , Standardavvik , Varians , Typetall , Prosentil , Desil , Kvartil , Medianen , MidlereAvvik , StolpeDiagram , KumulativeFrekvenser , FrekvensTabell , KlasseInndeling , SumfordelingsDiagram

Eksempel 34  Gitt   a) Lag en frekvenstabell.  b) Finn variasjonsbredden.  c) Finn hyppigste verdi og regn ut gjennomsnittet.  d) Tegn et stolpediagram.    Løsning     >     >     a)   >     Vi får samme verdier med FrekvensTabell , men vi får også informasjon om hva kolonnene står for.  >     b) Variasjonsbredden er  >     >     c) Med Mode får vi bare det ene typetallet.  >     >     gir begge typetallene og også hyppigheten eller frekvensen.  >     d)   >     Høyden på hver av søylene angir tallets hyppighet. Bredden på søylene angis med binwidth.  >     >     Med angivelsen relative er summen av søylenes areal lik 1  >