Matematikk med Maple  

for  

videregående skole 

© Harald Pleym  

 

Dette er et lite utvalg av stoff som fins i e-boka Matematikk med Maple for videregående skole. 
Vær oppmerksom på at denne konverteringen av Mapledokumenter til html-dokumenter (websider) medfører en betydelig forringelse av kvaliteten på dokumentene som er konvertert. Det gjelder både tekst, grafikk og plassering.
 

Det er spesielt iøynefallene at matematisk tekst (formler etc) ofte  ikke kommer på samme linje som den øvrige teksten etter konverteringen.

 

n-te røtter og potenser 

n-te røtter 

Definisjon 

Multiplikasjon 

Divisjon 

`^`(`^`(a, `/`(1, `*`(n))), n) = a 

`*`(`^`(a, `/`(1, `*`(n))), `*`(`^`(b, `/`(1, `*`(n))))) = `^`(`*`(a, `*`(b)), `/`(1, `*`(n))) 

`/`(`*`(`^`(a, `/`(1, `*`(n)))), `*`(`^`(b, `/`(1, `*`(n))))) = `^`(`/`(`*`(a), `*`(b)), `/`(1, `*`(n))) 

 

Brøkeksponenter 

`^`(a, `/`(1, `*`(n))) = `^`(a, `/`(1, `*`(n))) 

`^`(a, `/`(`*`(m), `*`(n))) = `^`(`^`(a, `/`(1, `*`(n))), m) 

`^`(a, `/`(`*`(m), `*`(n))) = `^`(`^`(a, m), `/`(1, `*`(n))) 

 

 

Eksempel 1 

a) Regn ut `^`(`+`(`*`(4, `*`(sqrt(x)))), 2) 

b) Skriv `+`(`/`(`*`(8), `*`(sqrt(2))))uten kvadratrot i nevneren. 

Løsning 

a)  

> `^`(`+`(`*`(4, `*`(sqrt(x)))), 2)
 

`+`(`*`(16, `*`(x)))
 

b)  

> `+`(`/`(`*`(8), `*`(sqrt(2))))
 

`+`(`*`(4, `*`(`^`(2, `/`(1, 2)))))
 

Her blir nevneren automatisk gjort rasjonal. Det skjer ikke med f.eks. 

> `assign`(f, `+`(`/`(`*`(4), `*`(`+`(sqrt(3), 2))))); -1; %
 

`+`(`/`(`*`(4), `*`(`+`(2, `*`(`^`(3, `/`(1, 2)))))))
 

Med RasjonalNevner får vi 

> f = RasjonalNevner(f)
 

`+`(`/`(`*`(4), `*`(`+`(2, `*`(`^`(3, `/`(1, 2))))))) = `+`(8, `-`(`*`(4, `*`(`^`(3, `/`(1, 2))))))
 

Logaritmeligninger 

 

Eksempel 2 

Løs ligningen 

a) `+`(`^`(`*`(lg, `*`(x)), 2), `-`(`*`(3, `*`(lg, `*`(x)))), `-`(4)) = 0 

b)  `+`(`*`(lg, `*`(`+`(x, 3))), `-`(lg(`+`(x, 1)))) = 2 

c) lg`+`(x, lg(`+`(x, 10))) = 2 

Løsning 

a) 

> `+`(`*`(`^`(lg(x), 2)), `-`(`*`(3, `*`(lg(x)))), `-`(4)) = 0; -1
 

> solve(%, {x})
 

{x = 10000}, {x = `/`(1, 10)}
 

b) 

 

> `+`(lg(`+`(x, 3)), `-`(lg(`+`(x, 1)))) = 2; -1
 

> LøsLigning(%, x)
 

x = -.979798
 

c) 

 

> `assign`(lign, `+`(lg(x), lg(`+`(x, 10))) = 2); -1; %
 

`+`(`/`(`*`(ln(x)), `*`(ln(10))), `/`(`*`(ln(`+`(x, 10))), `*`(ln(10)))) = 2
 

> combine(%)
 

`/`(`*`(`+`(ln(x), ln(`+`(x, 10)))), `*`(ln(10))) = 2
 

> `*`(%, `*`(ln(10)))
 

`+`(ln(x), ln(`+`(x, 10))) = `+`(`*`(2, `*`(ln(10))))
 

> map(exp, %)
 

exp(`+`(ln(x), ln(`+`(x, 10)))) = 100
 

> GangUt(%)
 

`+`(`*`(`^`(x, 2)), `*`(10, `*`(x))) = 100
 

> solve(%, {x})
 

{x = `+`(`-`(5), `*`(5, `*`(`^`(5, `/`(1, 2)))))}, {x = `+`(`-`(5), `-`(`*`(5, `*`(`^`(5, `/`(1, 2))))))}
 

> evalf(%)
 

{x = 6.18033988}, {x = -16.18033988}
 

Her er det bare den positive roten som kan brukes.  

Direkte løsning 

> LøsLigning(lign, x)
 

x = 6.1804
 

> solve(lign, {x})
 

{x = `+`(`-`(5), `*`(5, `*`(`^`(5, `/`(1, 2)))))}
 

Ulikheter 

Bruk av fortegnslinje er vanligvis et nyttig hjelpemiddel når man skal finne ut hvordan fortegnet til et uttrykk varierer med ulike verdier av variabelen Men når man bruker et dataverktøy som Maple er bruk av fortegnslinjer helt unødvendig. 

 

Eksempel 3 

Løs ulikheten `>=`(`+`(`*`(2, `*`(`^`(x, 2))), `-`(`*`(8, `*`(x)))), -6) 

Løsning 

> `>=`(`+`(`*`(2, `*`(`^`(x, 2))), `-`(`*`(8, `*`(x))), 6), 0)
 

`<=`(0, `+`(`*`(2, `*`(`^`(x, 2))), `-`(`*`(8, `*`(x))), 6))
 

> Faktoriser(%)
 

`<=`(0, `+`(`*`(2, `*`(`+`(x, `-`(1)), `*`(`+`(x, `-`(3)))))))
 

> LøsLigning(%, x)
 

{`<=`(3, x)}, {`<=`(x, 1)}
 

> `assign`(f, `+`(`*`(2, `*`(`^`(x, 2))), `-`(`*`(8, `*`(x))), 6)); -1
 

> `assign`(plt, plot(f, x = 0 .. 4, legend = f, tickmarks = [8, 8], gridlines)); -1
`assign`(plt, plot(f, x = 0 .. 4, legend = f, tickmarks = [8, 8], gridlines)); -1
 

> plt; 1
 

Plot_2d
 

Vi ser at `>=`(`+`(`*`(2, `*`(`^`(x, 2))), `-`(`*`(8, `*`(x))), 6), 0)når 

`<=`(x, 1) eller `>=`(x, 3) 

 

Eksempel 4 

Løs ulikheten `>`(`+`(`*`(`/`(4, 3), `*`(x)), 2), `+`(`*`(`/`(2, 3), `*`(x)), `-`(`/`(3, 4)))) 

Løsning 

> `assign`(ulikh, `>`(`+`(`*`(`/`(4, 3), `*`(x)), 2), `+`(`*`(`/`(2, 3), `*`(x)), `-`(`/`(3, 4))))); -1
 

> `+`(`*`(12, `*`(%)))
 

`<`(`+`(`*`(8, `*`(x))), `+`(`*`(16, `*`(x)), 33))
 

> `+`(%, `-`(`*`(8, `*`(x))), `-`(33))
 

`<`(-33, `+`(`*`(8, `*`(x))))
 

> `+`(`*`(`/`(1, 8), `*`(%)))
 

`<`(-`/`(33, 8), x)
 

Med LøsLigning får vi svaret direkte. 

> LøsLigning(ulikh, x)
 

{`<`(-`/`(33, 8), x)}
 

Vi kan også plotte uttrykkene på begge sider av ulikhetstegnet. 

> `assign`(plt, plot([`+`(`*`(`+`(`*`(2, `*`(x))), `/`(1, 3)), 3), `+`(`*`(`+`(`*`(3, `*`(x))), `/`(1, 2)), `-`(`/`(1, 3)))], x = 0 .. 6, legend = [`+`(`*`(`+`(`*`(2, `*`(x))), `/`(1, 3)), 3), `+`(`*`(`...
`assign`(plt, plot([`+`(`*`(`+`(`*`(2, `*`(x))), `/`(1, 3)), 3), `+`(`*`(`+`(`*`(3, `*`(x))), `/`(1, 2)), `-`(`/`(1, 3)))], x = 0 .. 6, legend = [`+`(`*`(`+`(`*`(2, `*`(x))), `/`(1, 3)), 3), `+`(`*`(`...
 

> plt
 

Plot_2d
 

Radianer, grader og enhetssirkel 

Radianer og grader 

Det absolutte vinkelmålet v i radianer er forholdet mellom buen b og radius  

v = `/`(`*`(b), `*`(r)) 

Overgang mellom grader og radianer er gitt ved  

 

Plot_2d 

 

 

> OmgjørEnhet(1, deg, radian)
 

`+`(`*`(`/`(1, 180), `*`(Pi)))
 

> `1 radian` = `*`(OmgjørEnhet(1.0, radian, deg), `*`(grader))
 

`1 radian` = `+`(`*`(57.29577950, `*`(grader)))
 

> EnhetsSirkel(120)
 

Plot_2d
 

> EnhetsSirkel(-120)
 

Plot_2d
 

Sinus, cosinus og tangens til vilkårlige vinkler 

De inverse funksjonene som gir vinkel i radianer som output er 

De inverse funksjonene som gir vinkel i grader som output er 

 

Eksakte verdier 

> Sin(15)
 

`+`(`*`(`/`(1, 4), `*`(`^`(2, `/`(1, 2)), `*`(`+`(`*`(`^`(3, `/`(1, 2))), `-`(1))))))
 

> InvSin(%)
 

15
 

> Sin(30)
 

`/`(1, 2)
 

 

> Sin(45)
 

`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(`^`(2, `/`(1, 2)))))
 

> Sin(60)
 

`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(`^`(3, `/`(1, 2)))))
 

> Sin(75)
 

`+`(`*`(`/`(1, 4), `*`(`^`(2, `/`(1, 2)), `*`(`+`(1, `*`(`^`(3, `/`(1, 2))))))))
 

> Cos(15)
 

`+`(`*`(`/`(1, 4), `*`(`^`(2, `/`(1, 2)), `*`(`+`(1, `*`(`^`(3, `/`(1, 2))))))))
 

> Cos(30)
 

`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(`^`(3, `/`(1, 2)))))
 

> InvCos(%)
 

30
 

> Cos(45)
 

`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(`^`(2, `/`(1, 2)))))
 

> Cos(60)
 

`/`(1, 2)
 

> Cos(75)
 

`+`(`*`(`/`(1, 4), `*`(`^`(2, `/`(1, 2)), `*`(`+`(`*`(`^`(3, `/`(1, 2))), `-`(1))))))
 

> Tan(15)
 

`+`(2, `-`(`*`(`^`(3, `/`(1, 2)))))
 

> Tan(30)
 

`+`(`*`(`/`(1, 3), `*`(`^`(3, `/`(1, 2)))))
 

> Tan(45)
 

1
 

> Tan(60)
 

`*`(`^`(3, `/`(1, 2)))
 

> InvTan(%)
 

60
 

> Tan(75)
 

`+`(2, `*`(`^`(3, `/`(1, 2))))
 

> Cot(15)
 

`+`(2, `*`(`^`(3, `/`(1, 2))))
 

> Cot(30)
 

`*`(`^`(3, `/`(1, 2)))
 

> Cot(45)
 

1
 

> Cot(60)
 

`+`(`*`(`/`(1, 3), `*`(`^`(3, `/`(1, 2)))))
 

> Cot(75)
 

`+`(2, `-`(`*`(`^`(3, `/`(1, 2)))))
 

> InvCot(%)
 

75
 

Cosinussetningen 

Eksempel 5 

I `▵`(ABC) er BC = 4.2cm og AC = 3.1 cm. Regn ut  

Drawing-Canvas 

Løsning 

Cosinussetningen gir 

> restart; -1
 

> `assign`(lign, `*`(`^`(AC, 2)) = `+`(`*`(`^`(AB, 2)), `*`(`^`(BC, 2)), `-`(`*`(2, `*`(AB, `*`(BC, `*`(Cos(B)))))))); -1
 

> `assign`(AC, BC, B, 3.1, 4.2, 42.3); -1
 

> LøsLigning(lign, AB)
 

{AB = 1.83364}, {AB = 4.37926}
 

Det er altså to løsninger. 

> restart; -1
 

NB! Med kommandoen Trekant blir den oppgitte vinkelen, her plassert i origo og bokstaveringen er mot urviseren. Da blir C på figuren til venstre A og B blir  

> Trekant([B = 42.3, c = 4.2, b = 3.1])
 

 

Plot_2d
[Areal[1] = 6.1893, Areal[2] = 2.5915, B = 42.3, C[1] = 65.759, C[2] = 114.24, A[1] = 71.941, A[2] = 23.459, b = 3.1, c = 4.2, a[1] = 4.3793, a[2] = 1.8336]
[Areal[1] = 6.1893, Areal[2] = 2.5915, B = 42.3, C[1] = 65.759, C[2] = 114.24, A[1] = 71.941, A[2] = 23.459, b = 3.1, c = 4.2, a[1] = 4.3793, a[2] = 1.8336]
[Areal[1] = 6.1893, Areal[2] = 2.5915, B = 42.3, C[1] = 65.759, C[2] = 114.24, A[1] = 71.941, A[2] = 23.459, b = 3.1, c = 4.2, a[1] = 4.3793, a[2] = 1.8336]
 

Høydesetningen i en trekant 

 

> TrekantHøyder([1, 2], [8, -1], [5, 6], lign)
 

Plot_2d
 

> lign
 

BQ = {`+`(`-`(28), `*`(4, `*`(x)), `*`(4, `*`(y))) = 0}, AP = {`+`(`-`(11), `-`(`*`(3, `*`(x))), `*`(7, `*`(y))) = 0}, CR = {`+`(`-`(17), `*`(7, `*`(x)), `-`(`*`(3, `*`(y)))) = 0}
BQ = {`+`(`-`(28), `*`(4, `*`(x)), `*`(4, `*`(y))) = 0}, AP = {`+`(`-`(11), `-`(`*`(3, `*`(x))), `*`(7, `*`(y))) = 0}, CR = {`+`(`-`(17), `*`(7, `*`(x)), `-`(`*`(3, `*`(y)))) = 0}
 

> TrekantHøyder([-1, 0], [8, 1], [4, 6], lign)
 

Plot_2d
 

 

> lign
 

BQ = {`+`(28, `-`(`*`(4, `*`(x))), `-`(`*`(4, `*`(y)))) = 0}, AP = {`+`(17, `-`(`*`(7, `*`(x))), `*`(3, `*`(y))) = 0}, CR = {`+`(11, `*`(3, `*`(x)), `-`(`*`(7, `*`(y)))) = 0}
BQ = {`+`(28, `-`(`*`(4, `*`(x))), `-`(`*`(4, `*`(y)))) = 0}, AP = {`+`(17, `-`(`*`(7, `*`(x))), `*`(3, `*`(y))) = 0}, CR = {`+`(11, `*`(3, `*`(x)), `-`(`*`(7, `*`(y)))) = 0}
 

 

Eksempel 6 

I `▵`(ABC) er `and`(AC = BC, BC = 6) og AB = 4.Høyden fra A til BC og høyden fra B til ACskjærer hverandre i CS skjærer AB i Beregn  

Løsning 

Vi plasserer A i origo og får følgende koordinater for A, B og  

> `assign`(A, B, C, [0, 0], [4, 0], [2, sqrt(`+`(`^`(6, 2), `-`(`^`(2, 2))))]); -1
 

> TrekantHøyder(A, B, C, lign)
 

Plot_2d
 

> lign
 

BQ = {`+`(`-`(8), `*`(2, `*`(x)), `*`(4, `*`(y, `*`(`^`(2, `/`(1, 2)))))) = 0}, AP = {`+`(`-`(`*`(2, `*`(x))), `*`(4, `*`(y, `*`(`^`(2, `/`(1, 2)))))) = 0}, CR = {`+`(`-`(8), `*`(4, `*`(x))) = 0}
BQ = {`+`(`-`(8), `*`(2, `*`(x)), `*`(4, `*`(y, `*`(`^`(2, `/`(1, 2)))))) = 0}, AP = {`+`(`-`(`*`(2, `*`(x))), `*`(4, `*`(y, `*`(`^`(2, `/`(1, 2)))))) = 0}, CR = {`+`(`-`(8), `*`(4, `*`(x))) = 0}
 

CR finnes av 

> CR = sqrt(`+`(`^`(6, 2), `-`(`^`(2, 2))))
 

CR = `+`(`*`(4, `*`(`^`(2, `/`(1, 2)))))
 

eller ved 

> CR = Lengde(`+`(C, [-2, 0]))
 

CR = `+`(`*`(4, `*`(`^`(2, `/`(1, 2)))))
 

> evalf(%)
 

CR = 5.656854248
 

Sirkel, ellipse, hyperbel og parabel 

 

Eksempel 7 

Finn sentrum og radius i sirkelen `+`(`*`(`^`(x, 2)), `*`(`^`(y, 2)), `*`(4, `*`(x)), `-`(`*`(3, `*`(y))), 4) = 0.Plott sirkelen. 

Løsning 

> `assign`(lign, `+`(`*`(`^`(x, 2)), `*`(`^`(y, 2)), `*`(4, `*`(x)), `-`(`*`(3, `*`(y))), 4) = 0); -1
 

> FullstendigKvadrat(lign)
 

`+`(`*`(`^`(`+`(y, `-`(`/`(3, 2))), 2)), `*`(`^`(`+`(x, 2), 2)), `-`(`/`(9, 4))) = 0
 

> Sirkel(lign)
 

Plot_2d
 

 

 

 

Eksempel 8 

Hva fremstiller ligningen  

Løsning 

> `assign`(lign, `+`(`*`(4, `*`(`^`(x, 2))), `*`(9, `*`(`^`(y, 2))), `*`(16, `*`(x)), `-`(`*`(18, `*`(y))), `-`(11)) = 0); -1
 

> FullstendigKvadrat(lign)
 

`+`(`*`(9, `*`(`^`(`+`(y, `-`(1)), 2))), `*`(4, `*`(`^`(`+`(x, 2), 2))), `-`(36)) = 0
 

> `+`(%, 36)
 

`+`(`*`(9, `*`(`^`(`+`(y, `-`(1)), 2))), `*`(4, `*`(`^`(`+`(x, 2), 2)))) = 36
 

> `+`(`*`(`/`(1, 36), `*`(%)))
 

`+`(`*`(`/`(1, 4), `*`(`^`(`+`(y, `-`(1)), 2))), `*`(`/`(1, 9), `*`(`^`(`+`(x, 2), 2)))) = 1
 

Ligningen fremstiller en ellipse med sentrum i -2, 1 og store halvakse sqrt(9) = 3 og lille halvakse sqrt(4) = 2 

> Ellipse(lign)
 

Plot_2d
 

 

Eksempel 9 

Hva fremstiller ligningen  

Løsning 

> `assign`(lign[1], `+`(`-`(`*`(9, `*`(`^`(y, 2)))), `*`(36, `*`(y)), 220, `*`(16, `*`(`^`(x, 2))), `-`(`*`(128, `*`(x)))) = 144); -1
 

> FullstendigKvadrat(lign[1])
 

`+`(`-`(`*`(9, `*`(`^`(`+`(y, `-`(2)), 2)))), `*`(16, `*`(`^`(`+`(x, `-`(4)), 2)))) = 144
 

> `assign`(lign[2], `+`(`*`(`/`(1, 144), `*`(%)))); -1; %
 

`+`(`-`(`*`(`/`(1, 16), `*`(`^`(`+`(y, `-`(2)), 2)))), `*`(`/`(1, 9), `*`(`^`(`+`(x, `-`(4)), 2)))) = 1
 

> Hyperbel(lign[1])
 

Plot_2d
 

Ligningen fremstiller en hyperbel med sentrum i 4, 2 og reell akse paralell med x-aksen. a = 3 og b = 4. 

Asymptotene finnes ved å løse ligningen 

> lhs(lign[2]) = 0
 

`+`(`-`(`*`(`/`(1, 16), `*`(`^`(`+`(y, `-`(2)), 2)))), `*`(`/`(1, 9), `*`(`^`(`+`(x, `-`(4)), 2)))) = 0
 

> solve(%, {y})
 

{y = `+`(`-`(`*`(`/`(4, 3), `*`(x))), `/`(22, 3))}, {y = `+`(`*`(`/`(4, 3), `*`(x)), `-`(`/`(10, 3)))}
 

> evalf(%, 3)
 

{y = `+`(`-`(`*`(1.33, `*`(x))), 7.33)}, {y = `+`(`*`(1.33, `*`(x)), `-`(3.33))}
 

 

Eksempel 10
a) Hva fremstiller ligningen `+`(`*`(2, `*`(`^`(y, 2))), `-`(`*`(3, `*`(x))), `-`(`*`(4, `*`(y))), 2) = 0 ?  

b) `*`(Finn, `*`(ligningen)) til parabelen med brennpunkt i 2, -1og styrelinje y = 1. 

Løsning 

a)  

> `assign`(lign, `+`(`*`(2, `*`(`^`(y, 2))), `-`(`*`(3, `*`(x))), `-`(`*`(4, `*`(y))), 2) = 0); -1
 

Ligningen fremstiller en parabel. 

> Parabel(lign)
 

Plot_2d
 

b)  

> Parabel(y = 1, [2, -1])
 

Plot_2d
 

Vektorer 

 

> LagVektor(a)
 

`#mover(mi(
 

> LagVektor(AB)
 

`#mover(mi(
 

Eksempel 11 

Plott vektorene `+`(`#mover(mi( og `+`(`#mover(mi( når `#mover(mi(og `#mover(mi( 

Løsning 

> `assign`(`#mover(mi(
 

> `assign`(va, Vektor([0, 0], `#mover(mi(
`assign`(va, Vektor([0, 0], `#mover(mi(
`assign`(va, Vektor([0, 0], `#mover(mi(
 

> display(va, vb, vc)
 

Plot_2d
 

NB! Her velges fargene automatisk slik at fargene på vektorene vil kunne være annerledes enn de gitte. Resultantvektoren er alltid rød. 

> PlottVektorSum([`#mover(mi(
 

 

`+`(array( 1 .. 2, [( 1 ) = (2), ( 2 ) = (1)  ] ), array( 1 .. 2, [( 1 ) = (-1), ( 2 ) = (2)  ] )) = (array( 1 .. 2, [( 1 ) = (1), ( 2 ) = (3)  ] ))
Plot_2d
 

> PlottVektorSum([`#mover(mi(
 

 

`+`(array( 1 .. 2, [( 1 ) = (-1), ( 2 ) = (1)  ] ), array( 1 .. 2, [( 1 ) = (2), ( 2 ) = (1)  ] )) = (array( 1 .. 2, [( 1 ) = (1), ( 2 ) = (2)  ] ))
Plot_2d
 

 

 

 

 

Eksempel 12 

Plott vektoren `+`(`#mover(mi( og `+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(`#mover(mi( når `#mover(mi(og `#mover(mi( 

Løsning 

> `assign`(`#mover(mi(
 

> `assign`(va, Vektor([0, 0], `#mover(mi(
`assign`(va, Vektor([0, 0], `#mover(mi(
`assign`(va, Vektor([0, 0], `#mover(mi(
 

> display(va, vb, vc)
 

Plot_2d
 

Her plottes  `+`(`#mover(mi( 

> PlottVektorSum([`#mover(mi(
 

 

`+`(array( 1 .. 2, [( 1 ) = (3), ( 2 ) = (1)  ] ), array( 1 .. 2, [( 1 ) = (1), ( 2 ) = (-2)  ] ), array( 1 .. 2, [( 1 ) = (2), ( 2 ) = (-2)  ] )) = (array( 1 .. 2, [( 1 ) = (6), ( 2 ) = (-3)  ] ))
Plot_2d
 

Så plotter vi `+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(`#mover(mi(. 

> PlottVektorSum([`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(`#mover(mi(
 

 

`+`(array( 1 .. 2, [( 1 ) = (`/`(3, 2)), ( 2 ) = (`/`(1, 2))  ] ), array( 1 .. 2, [( 1 ) = (-1), ( 2 ) = (2)  ] ), array( 1 .. 2, [( 1 ) = (-1), ( 2 ) = (1)  ] )) = (array( 1 .. 2, [( 1 ) = (-`/`(1, 2...
Plot_2d
 

Avstand mellom punkt og linje og mellom to linjer 

 

Eksempel 13 

En linje er gitt ved parameterframstillingen l; -1; x = `+`(1, `-`(`*`(2, `*`(t)))), y = -3`+`(`*`(6, `*`(t))), z = `+`(2, t) 

a) Finn et punkt A på linjen og en retningsvektor  

b) Finn avstanden q fra punktet  

Løsning 

> `assign`(l, P, [`+`(1, `-`(`*`(2, `*`(t)))), `+`(`-`(3), `*`(6, `*`(t))), `+`(2, t)], [2, -1, 3]); -1
 

a) Vi setter t = 0 inn i  

> `assign`(A, subs(t = 0, l))
 

[1, -3, 2]
 

Retningsvektoren blir 

> `assign`(`#mover(mi(
 

[`+`(`-`(`*`(2, `*`(t)))), `+`(`*`(6, `*`(t))), t]
 

b)  

> `assign`(`#mover(mi(
 

[1, 2, 1]
 

> q = `/`(`*`(Lengde(VektorProdukt(`#mover(mi(
 

q = `+`(`*`(`/`(5, 41), `*`(`^`(5, `/`(1, 2)), `*`(`^`(41, `/`(1, 2))))))
 

> simplify(%)
 

q = `+`(`*`(`/`(5, 41), `*`(`^`(5, `/`(1, 2)), `*`(`^`(41, `/`(1, 2))))))
 

> evalf(%)
 

q = 1.746075739
 

Kontroll 

Med AvstandPunktLinje får vi 

> AvstandPunktLinje(P, l)
 

 

q = `+`(`*`(`/`(5, 41), `*`(`^`(5, `/`(1, 2)), `*`(`^`(41, `/`(1, 2))))))
Plot_2d
 

Grenseverdier  

Eksempel 14 

Finn grenseverdien dersom den eksisterer. 

a) limit(`/`(`*`(`+`(`*`(2, `*`(x)), `-`(3))), `*`(`+`(x, `-`(1)))), x = 3) b) limit(`/`(`*`(`+`(`*`(2, `*`(x)), `-`(3))), `*`(`+`(x, `-`(1)))), x = 1) 

Løsning 

> `assign`(f, proc (x) options operator, arrow; `/`(`*`(`+`(`*`(2, `*`(x)), `-`(3))), `*`(`+`(x, `-`(1)))) end proc); -1
 

a)  

> Grenseverdi(f(x), x = 3)
 

Limit(`/`(`*`(`+`(`*`(2, `*`(x)), `-`(3))), `*`(`+`(x, `-`(1)))), x = 3) = `/`(3, 2)
 

b)  

> Grenseverdi(f(x), x = 1)
 

Limit(`/`(`*`(`+`(`*`(2, `*`(x)), `-`(3))), `*`(`+`(x, `-`(1)))), x = 1) = undefined
 

Vi benytter Asymptote funksjonen for å plotte grafen. Asymptoter behandles i kap. 7. 

Vi beregner de ensidige grenseverdier. 

> Grenseverdi(f(x), x = 1, høyre)
 

Limit(`/`(`*`(`+`(`*`(2, `*`(x)), `-`(3))), `*`(`+`(x, `-`(1)))), x = 1, right) = `+`(`-`(infinity))
 

> Grenseverdi(f(x), x = 1, venstre)
 

Limit(`/`(`*`(`+`(`*`(2, `*`(x)), `-`(3))), `*`(`+`(x, `-`(1)))), x = 1, left) = infinity
 

Se figuren til høyre. 

> Asymptoter(f(x), x = -6 .. 8)
 

Plot_2d
 

Definisjon av den deriverte 

Definisjon av den deriverte 

Den deriverte av y = f(x) er gitt ved 

 

 

Plot_2d 

 

 

 

Eksempel 15 

Finn   når f(x) = `+`(`-`(`*`(2, `*`(`^`(x, 3)))), `*`(4, `*`(x)), `-`(5)) 

.
Hvor raskt vokser f(x) når
 

Løsning 

> `assign`(f, proc (x) options operator, arrow; `+`(`-`(`*`(2, `*`(`^`(x, 3)))), `*`(4, `*`(x)), `-`(5)) end proc); -1
 

> `/`(`*`(df), `*`(dx)) = diff(f(x), x)
 

`/`(`*`(df), `*`(dx)) = `+`(`-`(`*`(6, `*`(`^`(x, 2)))), 4)
 

> Derivere(f(x), x)
 

Diff(`+`(`-`(`*`(2, `*`(`^`(x, 3)))), `*`(4, `*`(x)), `-`(5)), x) = `+`(`-`(`*`(6, `*`(`^`(x, 2)))), 4)
 

> (`/`(`*`(df), `*`(dx)))[x = 1] = (D(f))(1)
 

(`/`(`*`(df), `*`(dx)))[x = 1] = -2
 

Vi regner ut xved hjelp av definisjonen. 

 

> `/`(`*`(df), `*`(dx)) = limit(`/`(`*`(`+`(f(`+`(x, h)), `-`(f(x)))), `*`(h)), h = 0); -1
 

> %
 

`/`(`*`(df), `*`(dx)) = `+`(`-`(`*`(6, `*`(`^`(x, 2)))), 4)
 

Sammensatte funksjoner og kjerneregelen  

> `assign`(f, proc (x) options operator, arrow; g(u(x)) end proc); -1
 

Kjerneregelen ligger innbakt i Maples derivasjonskommando. 

> `/`(`*`(df), `*`(dx)) = diff(f(x), x)
 

`/`(`*`(df), `*`(dx)) = `*`((D(g))(u(x)), `*`(diff(u(x), x)))
 

Her er `/`(`*`(dg), `*`(du)) = (D(g))(u(x)) 

 

Eksempel 16 

Regn ut når  

a) b)  f(x) = sqrt(`+`(`*`(`^`(`+`(`*`(`^`(x, 2)), 1), 3)), `-`(3))) ,  c)  f(x) = `/`(`*`(`^`(`+`(`*`(3, `*`(`^`(x, 3))), 1), 2)), `*`(`^`(`+`(`*`(3, `*`(`^`(x, 2))), 1), 3)))   

d)   ,  e)  f(x) = `+`(`*`(`/`(1, 3), `*`(tan, `*`(x)))) , f)  f(x) = `*`(`^`(sin, n), `*`(x)) 

 

Løsning 

a)  

> `assign`(f, proc (x) options operator, arrow; `*`(`^`(`+`(`*`(3, `*`(`^`(x, 2))), 2), 3)) end proc); -1
 

> `/`(`*`(df), `*`(dx)) = diff(f(x), x)
 

`/`(`*`(df), `*`(dx)) = `+`(`*`(18, `*`(`^`(`+`(`*`(3, `*`(`^`(x, 2))), 2), 2), `*`(x))))
 

b)  

> `assign`(f, proc (x) options operator, arrow; sqrt(`+`(`*`(`^`(`+`(`*`(`^`(x, 2)), 1), 3)), `-`(3))) end proc); -1
 

> `/`(`*`(df), `*`(dx)) = `*`(`/`(`+`(`*`(2, `*`(f(x))))), `*`(diff(`+`(`*`(`^`(`+`(`*`(`^`(x, 2)), 1), 3)), `-`(3)), x)))
 

`/`(`*`(df), `*`(dx)) = `+`(`/`(`*`(3, `*`(`^`(`+`(`*`(`^`(x, 2)), 1), 2), `*`(x))), `*`(`^`(`+`(`*`(`^`(x, 6)), `*`(3, `*`(`^`(x, 4))), `*`(3, `*`(`^`(x, 2))), `-`(2)), `/`(1, 2)))))
 

> `/`(`*`(df), `*`(dx)) = diff(f(x), x)
 

`/`(`*`(df), `*`(dx)) = `+`(`/`(`*`(`/`(1, 2), `*`(`+`(`*`(6, `*`(`^`(x, 5))), `*`(12, `*`(`^`(x, 3))), `*`(6, `*`(x))))), `*`(`^`(`+`(`*`(`^`(x, 6)), `*`(3, `*`(`^`(x, 4))), `*`(3, `*`(`^`(x, 2))), `...
 

> factor(%)
 

`/`(`*`(df), `*`(dx)) = `+`(`/`(`*`(3, `*`(`^`(`+`(`*`(`^`(x, 2)), 1), 2), `*`(x))), `*`(`^`(`+`(`*`(`^`(x, 6)), `*`(3, `*`(`^`(x, 4))), `*`(3, `*`(`^`(x, 2))), `-`(2)), `/`(1, 2)))))
 

c)  

> `assign`(f, proc (x) options operator, arrow; `/`(`*`(`^`(`+`(`*`(3, `*`(`^`(x, 3))), 1), 2)), `*`(`^`(`+`(`*`(3, `*`(`^`(x, 2))), 1), 3))) end proc); -1
 

> `/`(`*`(df), `*`(dx)) = simplify(diff(f(x), x))
 

`/`(`*`(df), `*`(dx)) = `+`(`/`(`*`(18, `*`(`+`(`*`(3, `*`(`^`(x, 3))), 1), `*`(x, `*`(`+`(x, `-`(1)))))), `*`(`^`(`+`(`*`(3, `*`(`^`(x, 2))), 1), 4))))
 

d)  

> `assign`(f, proc (x) options operator, arrow; `+`(cos(`+`(`*`(2, `*`(x)))), sin(`+`(`*`(4, `*`(x))))) end proc); -1
 

> `/`(`*`(df), `*`(dx)) = diff(f(x), x)
 

`/`(`*`(df), `*`(dx)) = `+`(`-`(`*`(2, `*`(sin(`+`(`*`(2, `*`(x))))))), `*`(4, `*`(cos(`+`(`*`(4, `*`(x)))))))
 

e)  

> `assign`(f, proc (x) options operator, arrow; tan(`+`(`*`(`/`(1, 3), `*`(x)))) end proc); -1
 

> `/`(`*`(df), `*`(dx)) = diff(f(x), x)
 

`/`(`*`(df), `*`(dx)) = `+`(`/`(1, 3), `*`(`/`(1, 3), `*`(`^`(tan(`+`(`*`(`/`(1, 3), `*`(x)))), 2))))
 

f)  

> `assign`(f, proc (x) options operator, arrow; `^`(sin(x), n) end proc); -1
 

> `/`(`*`(df), `*`(dx)) = simplify(diff(f(x), x))
 

`/`(`*`(df), `*`(dx)) = `*`(`^`(sin(x), `+`(n, `-`(1))), `*`(n, `*`(cos(x))))
 

Funksjonsdrøfting 

 

Eksempel 17 

Drøft funksjonen , `and`(`<=`(0, x), `<=`(x, `+`(`*`(2, `*`(Pi))))) 

Løsning 

a) 

> `assign`(f, proc (x) options operator, arrow; `+`(`*`(2, `*`(cos(x))), `-`(cos(`+`(`*`(2, `*`(x)))))) end proc); -1
 

> FunksjonsDrøfting(f(x), x = 0 .. `+`(`*`(2, `*`(Pi))), p)
 

Plot_2d
 

> p
 

Plot_2d
 

Her ser vi at har ulik fortegn på hver side av et vendepunkt. Vi tar en test på hver side av  

> ((`@@`(D, 2))(f))(.5), ((`@@`(D, 2))(f))(.6)
 

.406044100, -.201240212
 

Regresjon 

Begrepet regresjon eller regresjonsanalyse betegner en metode for kurvetilpasning av innsamlede data. Den desidert mest utbredte modellen er den såkalte lineære regresjonsmodellen gitt ved den rette linjen som er best mulig tilpasset  observasjoner/data. Prinsippet for å finne konstantene a og b baserer seg på minste kvadraters metode. Det betyr at summen av kvadratene av vertikal avstand fra observasjonspunktene til den rette linjen skal være minst mulig.

 

Eksempel 18 

Finn minste kvadraters linje for datapunktene 

x 

-1 

0 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

y 

10 

9 

7 

5 

4 

3 

0 

-1 


Løsning
 

> `assign`(X, Y, [-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6], [10, 9, 7, 5, 4, 3, 0, -1]); -1
`assign`(X, Y, [-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6], [10, 9, 7, 5, 4, 3, 0, -1]); -1
 

> Regresjon(X, Y, lin)
 

Plot_2d
 

 

Eksempel 19 

Finn en logistisk tilpasning av typen  y = `+`(`/`(`*`(5), `*`(`+`(1, `*`(a, `*`(`^`(e, `*`(b, `*`(t)))))))))for datapunktene gitt ved P = [[-9, 0.25e-1], [-6, .14], [-3, .48], [0, 1.81], [3, 2.95], [6, 4.34], [9, 4.99], [12, 5.1], [15, 4.9], [18, 5.2], [21, 4.9], [24, 5.1]]
P = [[-9, 0.25e-1], [-6, .14], [-3, .48], [0, 1.81], [3, 2.95], [6, 4.34], [9, 4.99], [12, 5.1], [15, 4.9], [18, 5.2], [21, 4.9], [24, 5.1]]
P = [[-9, 0.25e-1], [-6, .14], [-3, .48], [0, 1.81], [3, 2.95], [6, 4.34], [9, 4.99], [12, 5.1], [15, 4.9], [18, 5.2], [21, 4.9], [24, 5.1]]
 


Løsning
 

> `assign`(P, [[-9, 0.25e-1], [-6, .14], [-3, .48], [0, 1.81], [3, 2.95], [6, 4.34], [9, 4.99], [12, 5.1], [15, 4.9], [18, 5.2], [21, 4.9], [24, 5.1]]); -1
`assign`(P, [[-9, 0.25e-1], [-6, .14], [-3, .48], [0, 1.81], [3, 2.95], [6, 4.34], [9, 4.99], [12, 5.1], [15, 4.9], [18, 5.2], [21, 4.9], [24, 5.1]]); -1
`assign`(P, [[-9, 0.25e-1], [-6, .14], [-3, .48], [0, 1.81], [3, 2.95], [6, 4.34], [9, 4.99], [12, 5.1], [15, 4.9], [18, 5.2], [21, 4.9], [24, 5.1]]); -1
 

> `assign`(X, Y, map2(op, 1, P), map2(op, 2, P)); -1
 

> `assign`(f, proc (t) options operator, arrow; `+`(`/`(`*`(5), `*`(`+`(1, `*`(a, `*`(exp(`*`(b, `*`(t))))))))) end proc); -1
 

> Regresjon(X, Y, f)
 

Plot_2d
 

Integrasjon 

 

Eksempel 20 

Beregn 

a)  int(`*`(`^`(x, 7)), x) ,   b) int(`^`(x, `+`(`-`(n))), x)  ,   c) d) e) int(`*`(`^`(tan(x), 2)), x) 

Løsning 

a) 

> Integral(`*`(`^`(x, 7)), x)
 

Int(`*`(`^`(x, 7)), x) = `+`(`*`(`/`(1, 8), `*`(`^`(x, 8))), C)
 

b) 

> Integral(`^`(x, `+`(`-`(n))), x)
 

Int(`^`(x, `+`(`-`(n))), x) = `+`(`-`(`/`(`*`(`^`(x, `+`(`-`(n), 1))), `*`(`+`(n, `-`(1))))), C)
 

c) 

> Integral(`*`(`*`(`^`(t, `/`(1, 3))), `/`(1, `*`(t))), t)
 

Int(`/`(1, `*`(`^`(t, `/`(2, 3)))), t) = `+`(`*`(3, `*`(`^`(t, `/`(1, 3)))), C)
 

d) 

> Integral(`/`(`*`(`+`(2, sqrt(u))), `*`(u, `*`(sqrt(u)))), u)
 

Int(`/`(`*`(`+`(2, `*`(`^`(u, `/`(1, 2))))), `*`(`^`(u, `/`(3, 2)))), u) = `+`(`-`(`/`(`*`(4), `*`(`^`(u, `/`(1, 2))))), ln(u), C)
 

e) 

> Integral(`*`(`^`(tan(x), 2)), x)
 

Int(`*`(`^`(tan(x), 2)), x) = `+`(tan(x), `-`(x), C)
 

Kontroll 

> diff(%, x)
 

`*`(`^`(tan(x), 2)) = `*`(`^`(tan(x), 2))
 

 

Eksempel 21 

Beregn 

a)  int(`/`(1, `*`(sqrt(x))), x = 2 .. 5) ,   b) int(sqrt(x), x = 1 .. 4),   c) d)
e
) int(`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(cos, `*`(x)))), x = `+`(`-`(Pi)) .. Pi) 

Løsning 

a) 

> `assign`(f, proc (x) options operator, arrow; `/`(1, `*`(sqrt(x))) end proc); -1
 

> `assign`(F, int(f(x), x))
 

`+`(`*`(2, `*`(`^`(x, `/`(1, 2)))))
 

> `assign`(F, unapply(F, x))
 

proc (x) options operator, arrow; `+`(`*`(2, `*`(`^`(x, `/`(1, 2))))) end proc
 

 

> Int(f(x), x = 2 .. 5) = `+`(F(5), `-`(F(2)))
 

Int(`/`(1, `*`(`^`(x, `/`(1, 2)))), x = 2 .. 5) = `+`(`*`(2, `*`(`^`(5, `/`(1, 2)))), `-`(`*`(2, `*`(`^`(2, `/`(1, 2))))))
 

Direkte integrasjon 

> Integral(f(x), x = 2 .. 5)
 

Int(`/`(1, `*`(`^`(x, `/`(1, 2)))), x = 2 .. 5) = `+`(`*`(2, `*`(`^`(5, `/`(1, 2)))), `-`(`*`(2, `*`(`^`(2, `/`(1, 2))))))
 

b) 

> `assign`(f, proc (x) options operator, arrow; sqrt(x) end proc); -1
 

> `assign`(F, int(f(x), x))
 

`+`(`*`(`/`(2, 3), `*`(`^`(x, `/`(3, 2)))))
 

> `assign`(F, unapply(F, x))
 

proc (x) options operator, arrow; `+`(`*`(`/`(2, 3), `*`(`^`(x, `/`(3, 2))))) end proc
 

 

> Int(f(x), x = 1 .. 4) = `+`(F(4), `-`(F(1)))
 

Int(`*`(`^`(x, `/`(1, 2))), x = 1 .. 4) = `+`(`*`(`/`(8, 3), `*`(`^`(4, `/`(1, 2)))), `-`(`/`(2, 3)))
 

> Forenkle(%)
 

Int(`*`(`^`(x, `/`(1, 2))), x = 1 .. 4) = `/`(14, 3)
 

Direkte integrasjon 

> Integral(f(x), x = 1 .. 4)
 

Int(`*`(`^`(x, `/`(1, 2))), x = 1 .. 4) = `/`(14, 3)
 

c) 

> `assign`(f, proc (x) options operator, arrow; `+`(sin(`+`(`*`(2, `*`(x)))), `-`(cos(`+`(`*`(3, `*`(x)))))) end proc)
 

proc (x) options operator, arrow; `+`(sin(`+`(`*`(2, `*`(x)))), `-`(cos(`+`(`*`(3, `*`(x)))))) end proc
 

> `assign`(F, int(f(x), x))
 

`+`(`-`(`*`(`/`(1, 2), `*`(cos(`+`(`*`(2, `*`(x))))))), `-`(`*`(`/`(1, 3), `*`(sin(`+`(`*`(3, `*`(x))))))))
 

> `assign`(F, unapply(F, x))
 

proc (x) options operator, arrow; `+`(`-`(`*`(`/`(1, 2), `*`(cos(`+`(`*`(2, `*`(x))))))), `-`(`*`(`/`(1, 3), `*`(sin(`+`(`*`(3, `*`(x)))))))) end proc
 

> Int(f(x), x = 0 .. `+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(Pi)))) = `+`(F(`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(Pi)))), `-`(F(0)))
 

Int(`+`(sin(`+`(`*`(2, `*`(x)))), `-`(cos(`+`(`*`(3, `*`(x)))))), x = 0 .. `+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(Pi)))) = `/`(4, 3)
 

Direkte integrasjon 

> Integral(f(x), x = 0 .. `+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(Pi))))
 

Int(`+`(sin(`+`(`*`(2, `*`(x)))), `-`(cos(`+`(`*`(3, `*`(x)))))), x = 0 .. `+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(Pi)))) = `/`(4, 3)
 

d) 

> `assign`(f, proc (u) options operator, arrow; `+`(exp(u), exp(`+`(`-`(u)))) end proc); -1
 

> `assign`(F, int(f(u), u))
 

`+`(exp(u), `-`(exp(`+`(`-`(u)))))
 

> `assign`(F, unapply(F, u))
 

proc (u) options operator, arrow; `+`(exp(u), `-`(exp(`+`(`-`(u))))) end proc
 

 

> Int(f(u), u = -1 .. 1) = `+`(F(1), `-`(F(-1)))
 

Int(`+`(exp(u), exp(`+`(`-`(u)))), u = -1 .. 1) = `+`(`*`(2, `*`(exp(1))), `-`(`*`(2, `*`(exp(-1)))))
 

Direkte integrasjon 

> Integral(f(u), u = -1 .. 1)
 

Int(`+`(exp(u), exp(`+`(`-`(u)))), u = -1 .. 1) = `+`(`*`(2, `*`(exp(1))), `-`(`*`(2, `*`(exp(-1)))))
 

e) 

> `assign`(f, proc (x) options operator, arrow; cos(`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(x)))) end proc); -1
 

> `assign`(F, int(f(x), x))
 

`+`(`*`(2, `*`(sin(`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(x)))))))
 

> `assign`(F, unapply(F, x))
 

proc (x) options operator, arrow; `+`(`*`(2, `*`(sin(`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(x))))))) end proc
 

 

> Int(f(x), x = `+`(`-`(Pi)) .. Pi) = `+`(F(Pi), `-`(F(`+`(`-`(Pi)))))
 

Int(cos(`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(x)))), x = `+`(`-`(Pi)) .. Pi) = 4
 

Direkte integrasjon 

> Integral(f(x), x = `+`(`-`(Pi)) .. Pi)
 

Int(cos(`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(x)))), x = `+`(`-`(Pi)) .. Pi) = 4
 

 

Eksempel 22 

Regn ut 

a) b) `*`(`^`(sin, 3), `*`(x, `*`(dx))) 

 

Løsning 

a)  

> `assign`(f, proc (x) options operator, arrow; `*`(x, `*`(sqrt(`+`(`*`(`^`(x, 2)), 1)))) end proc); -1
 

> `assign`(A, Int(f(x), x = 1 .. 3))
 

Int(`*`(x, `*`(`^`(`+`(`*`(`^`(x, 2)), 1), `/`(1, 2)))), x = 1 .. 3)
 

> Integral(f(x), x = 1 .. 3)
 

Int(`*`(x, `*`(`^`(`+`(`*`(`^`(x, 2)), 1), `/`(1, 2)))), x = 1 .. 3) = `+`(`-`(`*`(`/`(2, 3), `*`(`^`(2, `/`(1, 2))))), `*`(`/`(10, 3), `*`(`^`(10, `/`(1, 2)))))
 

> Substitusjon(A, u = `+`(`*`(`^`(x, 2)), 1))
 

 

 

Int(`*`(x, `*`(`^`(`+`(`*`(`^`(x, 2)), 1), `/`(1, 2)))), x = 1 .. 3) = `+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(Int(`*`(`^`(u, `/`(1, 2))), u = 2 .. 10))))
`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(Int(`*`(`^`(u, `/`(1, 2))), u = 2 .. 10)))) = `+`(`-`(`*`(`/`(2, 3), `*`(`^`(2, `/`(1, 2))))), `*`(`/`(10, 3), `*`(`^`(2, `/`(1, 2)), `*`(`^`(5, `/`(1, 2))))))
`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(Int(`*`(`^`(u, `/`(1, 2))), u = 2 .. 10)))) = 9.598116489
 

b)  

> `assign`(f, proc (x) options operator, arrow; `*`(`^`(sin(x), 3)) end proc); -1
 

> `assign`(A, Int(f(x), x = 0 .. Pi))
 

Int(`*`(`^`(sin(x), 3)), x = 0 .. Pi)
 

> Integral(f(x), x = 0 .. Pi)
 

Int(`*`(`^`(sin(x), 3)), x = 0 .. Pi) = `/`(4, 3)
 

> Substitusjon(A, u = cos(x))
 

 

 

Int(`*`(`^`(sin(x), 3)), x = 0 .. Pi) = `+`(`-`(Int(`+`(`-`(1), `*`(`^`(u, 2))), u = -1 .. 1)))
`+`(`-`(Int(`+`(`-`(1), `*`(`^`(u, 2))), u = -1 .. 1))) = `/`(4, 3)
`+`(`-`(Int(`+`(`-`(1), `*`(`^`(u, 2))), u = -1 .. 1))) = 1.333333333
 

 

Eksempel 23 

Regn ut 

a) b) c) d)  

Løsning 

a)  

> `assign`(f, proc (x) options operator, arrow; `*`(`^`(x, 3), `*`(ln(x))) end proc); -1
 

> `assign`(A, Int(f(x), x))
 

Int(`*`(`^`(x, 3), `*`(ln(x))), x)
 

> Integral(f(x), x)
 

Int(`*`(`^`(x, 3), `*`(ln(x))), x) = `+`(`*`(`/`(1, 4), `*`(`^`(x, 4), `*`(ln(x)))), `-`(`*`(`/`(1, 16), `*`(`^`(x, 4)))), C)
 

b)  

Her velger vi u = `*`(ln, `*`(x)) 

> DelvisIntegrasjon(A, ln(x))
 

 

Int(`*`(`^`(x, 3), `*`(ln(x))), x) = `+`(`*`(`/`(1, 4), `*`(`^`(x, 4), `*`(ln(x)))), `-`(`*`(`/`(1, 4), `*`(Int(`*`(`^`(x, 3)), x)))))
Int(`*`(`^`(x, 3), `*`(ln(x))), x) = `+`(`*`(`/`(1, 4), `*`(`^`(x, 4), `*`(ln(x)))), `-`(`*`(`/`(1, 16), `*`(`^`(x, 4)))), C)
 

> `assign`(f, proc (x) options operator, arrow; `*`(x, `*`(cos(x))) end proc); -1
 

> `assign`(A, Int(f(x), x))
 

Int(`*`(x, `*`(cos(x))), x)
 

> Integral(f(x), x)
 

Int(`*`(x, `*`(cos(x))), x) = `+`(cos(x), `*`(x, `*`(sin(x))), C)
 

c)  

Her er u = x 

> DelvisIntegrasjon(A, x)
 

 

Int(`*`(x, `*`(cos(x))), x) = `+`(`*`(x, `*`(sin(x))), `-`(Int(sin(x), x)))
Int(`*`(x, `*`(cos(x))), x) = `+`(cos(x), `*`(x, `*`(sin(x))), C)
 

 

> `assign`(f, proc (x) options operator, arrow; `/`(`*`(ln(x)), `*`(`^`(x, 2))) end proc); -1
 

> `assign`(A, Int(f(x), x = 3 .. 6))
 

Int(`/`(`*`(ln(x)), `*`(`^`(x, 2))), x = 3 .. 6)
 

> Integral(f(x), x = 3 .. 6)
 

Int(`/`(`*`(ln(x)), `*`(`^`(x, 2))), x = 3 .. 6) = `+`(`/`(1, 6), `*`(`/`(1, 6), `*`(ln(`/`(3, 2)))))
 

 

Velger u = `*`(ln, `*`(x)) 

> DelvisIntegrasjon(A, ln(x))
 

 

 

Int(`/`(`*`(ln(x)), `*`(`^`(x, 2))), x = 3 .. 6) = `+`(`-`(`*`(`/`(1, 6), `*`(ln(2)))), `*`(`/`(1, 6), `*`(ln(3))), Int(`/`(1, `*`(`^`(x, 2))), x = 3 .. 6))
Int(`/`(`*`(ln(x)), `*`(`^`(x, 2))), x = 3 .. 6) = `+`(`*`(`/`(1, 6), `*`(ln(3))), `/`(1, 6), `-`(`*`(`/`(1, 6), `*`(ln(2)))))
Int(`/`(`*`(ln(x)), `*`(`^`(x, 2))), x = 3 .. 6) = .2342441848
 

d)  

> `assign`(f, proc (x) options operator, arrow; `*`(`^`(x, 2), `*`(arctan(x))) end proc); -1
 

> `assign`(A, Int(f(x), x = 0 .. 4))
 

Int(`*`(`^`(x, 2), `*`(arctan(x))), x = 0 .. 4)
 

> Integral(f(x), x = 0 .. 4)
 

Int(`*`(`^`(x, 2), `*`(arctan(x))), x = 0 .. 4) = `+`(`*`(`/`(64, 3), `*`(arctan(4))), `-`(`/`(8, 3)), `*`(`/`(1, 6), `*`(ln(17))))
 

Her velger vi u = `*`(arctan, `*`(x)) 

> DelvisIntegrasjon(A, arctan(x))
 

 

 

Int(`*`(`^`(x, 2), `*`(arctan(x))), x = 0 .. 4) = `+`(`*`(`/`(64, 3), `*`(arctan(4))), `-`(`*`(`/`(1, 3), `*`(Int(`/`(`*`(`^`(x, 3)), `*`(`+`(`*`(`^`(x, 2)), 1))), x = 0 .. 4)))))
Int(`*`(`^`(x, 2), `*`(arctan(x))), x = 0 .. 4) = `+`(`*`(`/`(64, 3), `*`(arctan(4))), `-`(`/`(8, 3)), `*`(`/`(1, 6), `*`(ln(17))))
Int(`*`(`^`(x, 2), `*`(arctan(x))), x = 0 .. 4) = 26.08964571
 

> `assign`(f, proc (x) options operator, arrow; `*`(x, `*`(cos(x))) end proc); -1
 

> `assign`(A, Int(f(x), x))
 

Int(`*`(x, `*`(cos(x))), x)
 

> Integral(f(x), x)
 

Int(`*`(x, `*`(cos(x))), x) = `+`(cos(x), `*`(x, `*`(sin(x))), C)
 

 

Her er u = x 

> DelvisIntegrasjon(A, x)
 

 

Int(`*`(x, `*`(cos(x))), x) = `+`(`*`(x, `*`(sin(x))), `-`(Int(sin(x), x)))
Int(`*`(x, `*`(cos(x))), x) = `+`(cos(x), `*`(x, `*`(sin(x))), C)
 

 

 

Eksempel 24 

Regn ut
a)   b)  c)   

Løsning 

a) 

> `assign`(f, proc (x) options operator, arrow; `/`(`*`(`+`(`*`(2, `*`(x)), 3)), `*`(`+`(`*`(`^`(x, 2)), `-`(`*`(2, `*`(x))), `-`(3)))) end proc); -1
 

> f(x) = Faktoriser(f(x))
 

`/`(`*`(`+`(`*`(2, `*`(x)), 3)), `*`(`+`(`*`(`^`(x, 2)), `-`(`*`(2, `*`(x))), `-`(3)))) = `/`(`*`(`+`(`*`(2, `*`(x)), 3)), `*`(`+`(x, 1), `*`(`+`(x, `-`(3)))))
 

Da er 

> `assign`(g, rhs(%) = `+`(`/`(`*`(A), `*`(`+`(x, 1))), `/`(`*`(B), `*`(`+`(x, `-`(3)))))); -1; %
 

`/`(`*`(`+`(`*`(2, `*`(x)), 3)), `*`(`+`(x, 1), `*`(`+`(x, `-`(3))))) = `+`(`/`(`*`(Int(`*`(x, `*`(cos(x))), x)), `*`(`+`(x, 1))), `/`(`*`(B), `*`(`+`(x, `-`(3)))))
 

> `assign`(A, subs(x = -1, `/`(`*`(`+`(`*`(2, `*`(x)), 3)), `*`(`+`(x, `-`(3))))))
 

-`/`(1, 4)
 

> `assign`(B, subs(x = 3, `/`(`*`(`+`(`*`(2, `*`(x)), 3)), `*`(`+`(x, 1)))))
 

`/`(9, 4)
 

> g
 

`/`(`*`(`+`(`*`(2, `*`(x)), 3)), `*`(`+`(x, 1), `*`(`+`(x, `-`(3))))) = `+`(`/`(`*`(Int(`*`(x, `*`(cos(x))), x)), `*`(`+`(x, 1))), `/`(`*`(`/`(9, 4)), `*`(`+`(x, `-`(3)))))
 

Med DelbrøkOppspalting får vi resultatet direkte 

> DelbrøkOppspalting(f(x), x)
 

`/`(`*`(`+`(`*`(2, `*`(x)), 3)), `*`(`+`(`*`(`^`(x, 2)), `-`(`*`(2, `*`(x))), `-`(3)))) = `+`(`/`(`*`(`/`(9, 4)), `*`(`+`(x, `-`(3)))), `-`(`/`(`*`(`/`(1, 4)), `*`(`+`(x, 1)))))
 

> Integral(rhs(%), x)
 

Int(`+`(`/`(`*`(`/`(9, 4)), `*`(`+`(x, `-`(3)))), `-`(`/`(`*`(`/`(1, 4)), `*`(`+`(x, 1))))), x) = `+`(`*`(`/`(9, 4), `*`(ln(`+`(x, `-`(3))))), `-`(`*`(`/`(1, 4), `*`(ln(`+`(x, 1))))), C)
Int(`+`(`/`(`*`(`/`(9, 4)), `*`(`+`(x, `-`(3)))), `-`(`/`(`*`(`/`(1, 4)), `*`(`+`(x, 1))))), x) = `+`(`*`(`/`(9, 4), `*`(ln(`+`(x, `-`(3))))), `-`(`*`(`/`(1, 4), `*`(ln(`+`(x, 1))))), C)
 

Direkte integrasjon 

> Integral(f(x), x)
 

Int(`/`(`*`(`+`(`*`(2, `*`(x)), 3)), `*`(`+`(`*`(`^`(x, 2)), `-`(`*`(2, `*`(x))), `-`(3)))), x) = `+`(`*`(`/`(9, 4), `*`(ln(`+`(x, `-`(3))))), `-`(`*`(`/`(1, 4), `*`(ln(`+`(x, 1))))), C)
 

b)  

> `assign`(f, proc (x) options operator, arrow; `/`(`*`(`+`(`*`(`^`(x, 4)), `*`(2, `*`(`^`(x, 3))), 4)), `*`(`+`(`*`(`^`(x, 2)), `-`(x), `-`(2)))) end proc); -1
 

> f(x) = Faktoriser(f(x))
 

`/`(`*`(`+`(`*`(`^`(x, 4)), `*`(2, `*`(`^`(x, 3))), 4)), `*`(`+`(`*`(`^`(x, 2)), `-`(x), `-`(2)))) = `/`(`*`(`+`(`*`(`^`(x, 4)), `*`(2, `*`(`^`(x, 3))), 4)), `*`(`+`(x, 1), `*`(`+`(x, `-`(2)))))
 

> Integral(rhs(%), x)
 

Int(`/`(`*`(`+`(`*`(`^`(x, 4)), `*`(2, `*`(`^`(x, 3))), 4)), `*`(`+`(x, 1), `*`(`+`(x, `-`(2))))), x) = `+`(`*`(`/`(1, 3), `*`(`^`(x, 3))), `*`(`/`(3, 2), `*`(`^`(x, 2))), `*`(5, `*`(x)), `*`(12, `*`(...
Int(`/`(`*`(`+`(`*`(`^`(x, 4)), `*`(2, `*`(`^`(x, 3))), 4)), `*`(`+`(x, 1), `*`(`+`(x, `-`(2))))), x) = `+`(`*`(`/`(1, 3), `*`(`^`(x, 3))), `*`(`/`(3, 2), `*`(`^`(x, 2))), `*`(5, `*`(x)), `*`(12, `*`(...
 

 

> DelbrøkOppspalting(f(x), x)
 

`/`(`*`(`+`(`*`(`^`(x, 4)), `*`(2, `*`(`^`(x, 3))), 4)), `*`(`+`(`*`(`^`(x, 2)), `-`(x), `-`(2)))) = `+`(`*`(`^`(x, 2)), `*`(3, `*`(x)), 5, `-`(`/`(1, `*`(`+`(x, 1)))), `/`(`*`(12), `*`(`+`(x, `-`(2))...
 

> Integral(rhs(%), x)
 

Int(`+`(`*`(`^`(x, 2)), `*`(3, `*`(x)), 5, `-`(`/`(1, `*`(`+`(x, 1)))), `/`(`*`(12), `*`(`+`(x, `-`(2))))), x) = `+`(`*`(`/`(1, 3), `*`(`^`(x, 3))), `*`(`/`(3, 2), `*`(`^`(x, 2))), `*`(5, `*`(x)), `*`...
Int(`+`(`*`(`^`(x, 2)), `*`(3, `*`(x)), 5, `-`(`/`(1, `*`(`+`(x, 1)))), `/`(`*`(12), `*`(`+`(x, `-`(2))))), x) = `+`(`*`(`/`(1, 3), `*`(`^`(x, 3))), `*`(`/`(3, 2), `*`(`^`(x, 2))), `*`(5, `*`(x)), `*`...
 

c) 

> `assign`(f, proc (x) options operator, arrow; `/`(`*`(`+`(`*`(`^`(x, 2)), `*`(4, `*`(x)))), `*`(`^`(`+`(x, 2), 3))) end proc); -1
 

> Integral(f(x), x)
 

Int(`/`(`*`(`+`(`*`(`^`(x, 2)), `*`(4, `*`(x)))), `*`(`^`(`+`(x, 2), 3))), x) = `+`(`/`(`*`(2), `*`(`^`(`+`(x, 2), 2))), `/`(`*`(ln(`+`(x, 2)), `*`(`^`(x, 2))), `*`(`^`(`+`(x, 2), 2))), `/`(`*`(4, `*`...
Int(`/`(`*`(`+`(`*`(`^`(x, 2)), `*`(4, `*`(x)))), `*`(`^`(`+`(x, 2), 3))), x) = `+`(`/`(`*`(2), `*`(`^`(`+`(x, 2), 2))), `/`(`*`(ln(`+`(x, 2)), `*`(`^`(x, 2))), `*`(`^`(`+`(x, 2), 2))), `/`(`*`(4, `*`...
 

 

> DelbrøkOppspalting(f(x), x)
 

`/`(`*`(`+`(`*`(`^`(x, 2)), `*`(4, `*`(x)))), `*`(`^`(`+`(x, 2), 3))) = `+`(`/`(1, `*`(`+`(x, 2))), `-`(`/`(`*`(4), `*`(`^`(`+`(x, 2), 3)))))
 

> Integral(rhs(%), x)
 

Int(`+`(`/`(1, `*`(`+`(x, 2))), `-`(`/`(`*`(4), `*`(`^`(`+`(x, 2), 3))))), x) = `+`(`/`(`*`(2), `*`(`^`(`+`(x, 2), 2))), `/`(`*`(ln(`+`(x, 2)), `*`(`^`(x, 2))), `*`(`^`(`+`(x, 2), 2))), `/`(`*`(4, `*`...
Int(`+`(`/`(1, `*`(`+`(x, 2))), `-`(`/`(`*`(4), `*`(`^`(`+`(x, 2), 3))))), x) = `+`(`/`(`*`(2), `*`(`^`(`+`(x, 2), 2))), `/`(`*`(ln(`+`(x, 2)), `*`(`^`(x, 2))), `*`(`^`(`+`(x, 2), 2))), `/`(`*`(4, `*`...
Int(`+`(`/`(1, `*`(`+`(x, 2))), `-`(`/`(`*`(4), `*`(`^`(`+`(x, 2), 3))))), x) = `+`(`/`(`*`(2), `*`(`^`(`+`(x, 2), 2))), `/`(`*`(ln(`+`(x, 2)), `*`(`^`(x, 2))), `*`(`^`(`+`(x, 2), 2))), `/`(`*`(4, `*`...
 

Volum av omdreiningslegemer 

Eksempel 25 

Beregen volumet av det legemet som framkommer ved at flatestykket mellom x-aksen og kurven roterer om x-aksen når 

a) b) c) y = `*`(ln, `*`(x)), `in`(x, [0, e]) 

Løsning 

a)  

> `assign`(f, proc (x) options operator, arrow; `+`(`*`(`^`(x, 2)), 1) end proc); -1
 

Volumet er da gitt ved 

> Integral(`*`(Pi, `*`(`^`(f(x), 2))), x = 0 .. 2)
 

Int(`*`(Pi, `*`(`^`(`+`(`*`(`^`(x, 2)), 1), 2))), x = 0 .. 2) = `+`(`*`(`/`(206, 15), `*`(Pi)))
 

Eller ved 

> RotasjonsVolum(0, f(x), x = 0 .. 2, graf)
 

 

Int(`*`(Pi, `*`(`^`(`+`(`*`(`^`(x, 2)), 1), 2))), x = 0 .. 2) = `+`(`*`(`/`(206, 15), `*`(Pi)))
Int(`*`(Pi, `*`(`^`(`+`(`*`(`^`(x, 2)), 1), 2))), x = 0 .. 2) = 43.1445
 

> graf
 

Plot_2d
 

Klikk på figuren og drei på den. 

b)  

> `assign`(f, proc (x) options operator, arrow; sin(x) end proc); -1
 

Volumet er da gitt ved 

> Integral(`*`(Pi, `*`(`^`(f(x), 2))), x = 0 .. Pi)
 

Int(`*`(Pi, `*`(`^`(sin(x), 2))), x = 0 .. Pi) = `+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(`^`(Pi, 2))))
 

Eller ved 

> RotasjonsVolum(0, f(x), x = 0 .. Pi, graf)
 

 

Int(`*`(Pi, `*`(`^`(sin(x), 2))), x = 0 .. Pi) = `+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(`^`(Pi, 2))))
Int(`*`(Pi, `*`(`^`(sin(x), 2))), x = 0 .. Pi) = 4.93480
 

> graf
 

Plot_2d
 

Klikk på figuren og drei på den. 

c)  

> `assign`(f, proc (x) options operator, arrow; ln(x) end proc); -1
 

Volumet er da gitt ved 

> Integral(`*`(Pi, `*`(`^`(f(x), 2))), x = 1 .. exp(1))
 

Int(`*`(Pi, `*`(`^`(ln(x), 2))), x = 1 .. exp(1)) = `+`(`-`(`*`(2, `*`(Pi))), `*`(Pi, `*`(exp(1))))
 

Eller ved 

> RotasjonsVolum(0, f(x), x = 1 .. exp(1), graf)
 

 

Int(`*`(Pi, `*`(`^`(ln(x), 2))), x = 1 .. exp(1)) = `*`(Pi, `*`(`+`(`-`(2), exp(1))))
Int(`*`(Pi, `*`(`^`(ln(x), 2))), x = 1 .. exp(1)) = 2.25655
 

> graf
 

Plot_2d
 

Klikk på figuren og drei på den. 

Differensialligninger og løsningskurver 

 

Eksempel 26 

a) Løs differensialligningen `+`(`*`(5, `*`(diff(N(x), x)))) = `*`(N(x), `*`(`+`(12, `-`(N(x))))) 

b) Løs differensialligningen `+`(`*`(5, `*`(diff(N(x), x)))) = `*`(N(x), `*`(`+`(12, `-`(N(x))))), N(3)
Plott retningsdiagrammet og grafen til N(x) for `in`(x, [0, 6])
 

c) Beregn grenseverdien for N(x) når x  

d) Finn vekstfarten når N(x) = 4 

 

Løsning 

a)  

> `assign`(diffl, `+`(`*`(6, `*`(diff(N(x), x)))) = `*`(N(x), `*`(`+`(6, `-`(N(x)))))); -1; %
 

`+`(`*`(6, `*`(diff(N(x), x)))) = `*`(N(x), `*`(`+`(6, `-`(N(x)))))
 

Den generelle løsningen er 

> LøsDiffLigning(diffl)
 

N(x) = `+`(`/`(`*`(6), `*`(`+`(1, `*`(6, `*`(exp(`+`(`-`(x))), `*`(c[1])))))))
 

Retningsdiagrammet blir  

> LøsDiffLigning(diffl, x = 0 .. 6, N = 0 .. 6)
 

Plot_2d
 

 

b)  

> LøsDiffLigning({diffl, N(3) = 4})
 

`+`(`/`(1, `*`(N(x))), `-`(`/`(1, 6)), `-`(`/`(`*`(`/`(1, 12), `*`(exp(`+`(`-`(x))))), `*`(exp(-3))))) = 0
 

> LøsDiffLigning([diffl, N(3) = 4], x = 0 .. 6, N = 0 .. 6)
 

 

N(x) = `+`(`/`(`*`(6), `*`(`+`(`*`(6, `*`(c[1], `*`(exp(`+`(`-`(x)))))), 1))))
Plot_2d
 

c)  

> `assign`(N, proc (x) options operator, arrow; `+`(`/`(`*`(6), `*`(`+`(`*`(6, `*`(c[1], `*`(exp(`+`(`-`(x)))))), 1)))) end proc); -1
 

> Grenseverdi(N(x), x = infinity)
 

Limit(`+`(`/`(`*`(6), `*`(`+`(`*`(6, `*`(c[1], `*`(exp(`+`(`-`(x)))))), 1)))), x = infinity) = 6
 

N(x) når proc (x) options operator, arrow; infinity end proc 

> `assign`(N, 'N'); -1
 

 

d)  

> isolate(diffl, diff(N(x), x))
 

diff(N(x), x) = `+`(`*`(`/`(1, 6), `*`(N(x), `*`(`+`(6, `-`(N(x)))))))
 

Vi setter inn N(x) = 4 på høyre side og får vekstfarten 

> diff(N(x), x) = subs(N(x) = 4, rhs(%))
 

diff(N(x), x) = `/`(4, 3)
 

Eulers metode 

Eulers metode 

En tilnærmet løsning av differensialligningen 

x[0] 

er gitt ved Euler's metode 

y[`+`(n, 1)] = `+`(y[n], h) x[n], y[n] 

x[n] = `+`(x[0], `*`(n, `*`(h))) 

der h er en konstant steglengde. 

 

 

 

> `assign`(dlign, diff(y(x), x) = `*`(`^`(x, 2), `*`(y(x)))); -1
 

> LøsDiffLigning(dlign)
 

y(x) = `*`(c[1], `*`(exp(`+`(`*`(`/`(1, 3), `*`(`^`(x, 3)))))))
 

Vi får retningsdiagrammet med 

> LøsDiffLigning(dlign, x = -2 .. 2, y = -2 .. 2); -1
 

> %
 

Plot_2d
 

> `assign`(f, proc (x, y) options operator, arrow; `*`(`^`(x, 2), `*`(y)) end proc); -1
 

> EulersMetode(f, euler, -1, 1, .15, 15, feil)
 

Plot_2d
 

Klikk på figuren og start animasjonen. 

> feil[1 .. 10]
 

Matrix(%id = 18446744080292662078)
 

 

Eksempel 27 

Løs differensialligningen ved Eulers metode.  

diff(y(x), x) = `+`(`*`(`/`(1, 4), `*`(y(x), `*`(`+`(6, `-`(y(x))))))), y(0) = 1, `and`(`<=`(0, x), `<=`(x, 10)), h = 1 og ved "eksakt" numerisk metod 

Løsning  

> `assign`(f, proc (x, y) options operator, arrow; `+`(`*`(`/`(1, 4), `*`(y, `*`(`+`(6, `-`(y)))))) end proc); -1
 

> `assign`(p1, EulersMetode(f, euler, 0, 1, 1, 10, feil)); -1; %
 

Plot_2d
 

Klikk på figuren og start animasjonen. 

"Eksakt" numerisk metode 

> `assign`(dlign, diff(y(x), x) = `+`(`*`(`/`(1, 4), `*`(y(x), `*`(`+`(6, `-`(y(x)))))))); -1
 

> `assign`(p2, LøsDiffLigning([dlign, y(0) = 1], x = 0 .. 10, y = 0 .. 6, numerisk)); -1; %
`assign`(p2, LøsDiffLigning([dlign, y(0) = 1], x = 0 .. 10, y = 0 .. 6, numerisk)); -1; %
 

Plot_2d
 

> display(p1, p2)
 

Plot_2d
 

Den eksakte løsningen faller sammen med den "eksakte" numeriske løsningen.
Klikk på figuren og start animasjonen.
 

 

 

 

Aritmetiske og geometriske rekker 

Eksempel 28 

I en aritmetisk rekke er første ledd 4 og differansen er 2. 

a) Finn ledd nr 200. 

b) Finn en formel for ledd nr n, a[n].
c) Finn en formel for summen av de nførste leddene, s[n] .
Finn n når s[n] = 18904
 


Løsning 

a) 

> `assign`(a[1], d, 4, 2); -1
 

> a[200] = `+`(a[1], `*`(`+`(200, -1), `*`(d)))
 

a[200] = 402
 

eller 

> AritmetiskRekke(4, 2, 200)
 

 

a[200] = 402
s[200] = 40600
 

b) 

> a[n] = `+`(a[1], `*`(`+`(n, `-`(1)), `*`(d)))
 

a[n] = `+`(2, `*`(2, `*`(n)))
 

eller med  

> AritmetiskRekke(4, 2, n)
 

 

a[n] = `+`(2, `*`(2, `*`(n)))
s[n] = `+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(`+`(6, `*`(2, `*`(n))), `*`(n))))
 

c) 

> s[n] = `+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(`+`(a[1], 2, `*`(2, `*`(n))), `*`(n))))
 

s[n] = `+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(`+`(6, `*`(2, `*`(n))), `*`(n))))
 

> rhs(%) = 18904
 

`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(`+`(6, `*`(2, `*`(n))), `*`(n)))) = 18904
 

> solve(%, {n})
 

{n = 136}, {n = -139}
 

Antall ledd er n = 136 

 

Eksempel 29 

I en geometrisk tallfølge er a[1] = 5 og k = 2. 

a) Finn ledd nr 8.
b) Hvilket nummer i følgen har leddet 327680?
Løsning
 

a) 

> GeometriskRekke(5, 2, 8)
 

 

a[8] = 640
s[8] = 1275
 

b) 

> GeometriskRekke(5, 2, n)
 

 

a[n] = `+`(`*`(5, `*`(`^`(2, `+`(n, `-`(1))))))
s[n] = `+`(`*`(5, `*`(`^`(2, n))), `-`(5))
 

> a[n] = `+`(`*`(5, `*`(`^`(2, `+`(n, `-`(1)))))); -1
 

> subs(a[n] = 327680, %)
 

327680 = `+`(`*`(5, `*`(`^`(2, `+`(n, `-`(1))))))
 

> isolate(%, n)
 

n = 17
 

Konvergens og uendelige rekker 

Eksempel 30 

Finn konvergensområdet og regn ut summen av rekken 

a  

b) 1 


Løsning
 

a)  

> `assign`(k, simplify(`/`(`*`(`^`(-1, `+`(n, `-`(1))), `*`(`^`(x, `+`(n, `-`(1))))), `*`(`^`(-1, `+`(n, `-`(2))), `*`(`^`(x, `+`(n, `-`(2))))))))
 

`+`(`-`(x))
 

> LøsLigning(`<`(abs(k), 1), x)
 

{`<`(-1, x), `<`(x, 1)}
 

Konvergensområdet er for `in`(x, `<,>`(-1, 1)) 

> s = sum(`*`(`^`(-1, `+`(n, `-`(1))), `*`(`^`(x, `+`(n, `-`(1))))), n = 1 .. infinity)
 

s = `/`(1, `*`(`+`(1, x)))
 

eller ved formelen 

> s = `/`(1, `*`(`+`(1, `-`(k))))
 

s = `/`(1, `*`(`+`(1, x)))
 

b)  

> `assign`(k, simplify(`/`(`*`(exp(`+`(`-`(`*`(`+`(n, `-`(1)), `*`(x)))))), `*`(exp(`+`(`-`(`*`(`+`(n, `-`(2)), `*`(x)))))))))
 

exp(`+`(`-`(x)))
 

> solve(`<`(abs(k), 1), x)
 

k er alltid positiv. 

> LøsLigning(`<`(abs(k), 1), x)
 

Konvergensområdet er for `in`(x, `<,>`(0, 2)) 

> s = sum(`^`(`+`(x, `-`(1)), `+`(n, `-`(1))), n = 1 .. infinity)
 

s = `+`(`-`(`/`(1, `*`(`+`(`-`(2), x)))))
 

eller ved formelen 

> s = `/`(1, `*`(`+`(1, `-`(k))))
 

s = `/`(1, `*`(`+`(1, `-`(exp(`+`(`-`(x)))))))
 

Binomialkoeffisienter 

Eksempel 31 

a)Beregn binomial(16, 9), binomial(26, 23), binomial(12, 3), binomial(36, 0), binomial(36, 36), binomial(132, 122) 

b) Skriv opp de første 9 og 11 rekker i Pascals trekant   

c) `^`(`+`(a, b), n) = Sum(`*`(binomial(n, k), `*`(`^`(a, `+`(n, `-`(k))), `*`(`^`(b, k)))), k = 0 .. n)  for n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 

Løsning 

a)  

> binomial(16, 9), binomial(26, 23), binomial(12, 3)
 

11440, 2600, 220
 

 

> binomial(36, 0), binomial(36, 36), binomial(132, 122)
 

1, 1, 312058705015200
 

b)  

> PascalsTrekant(8)
 

 

 

 

 

 

 

 

 

1
1, 1
1, 2, 1
1, 3, 3, 1
1, 4, 6, 4, 1
1, 5, 10, 10, 5, 1
1, 6, 15, 20, 15, 6, 1
1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1
1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1
 

 

> PascalsTrekant(10)
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1
1, 1
1, 2, 1
1, 3, 3, 1
1, 4, 6, 4, 1
1, 5, 10, 10, 5, 1
1, 6, 15, 20, 15, 6, 1
1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1
1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1
1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1
1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1
 

c)  

> `assign`(B, proc (n) options operator, arrow; `^`(`+`(x, y), n) = sum(`*`(binomial(n, k), `*`(`^`(x, `+`(n, `-`(k))), `*`(`^`(y, k)))), k = 0 .. n) end proc); -1
 

> B(0)
 

1 = 1
 

> B(1)
 

`+`(x, y) = `+`(x, y)
 

> B(2)
 

`*`(`^`(`+`(x, y), 2)) = `+`(`*`(`^`(x, 2)), `*`(2, `*`(x, `*`(y))), `*`(`^`(y, 2)))
 

> B(3)
 

`*`(`^`(`+`(x, y), 3)) = `+`(`*`(`^`(x, 3)), `*`(3, `*`(`^`(x, 2), `*`(y))), `*`(3, `*`(x, `*`(`^`(y, 2)))), `*`(`^`(y, 3)))
 

 

> B(4)
 

`*`(`^`(`+`(x, y), 4)) = `+`(`*`(`^`(x, 4)), `*`(4, `*`(`^`(x, 3), `*`(y))), `*`(6, `*`(`^`(x, 2), `*`(`^`(y, 2)))), `*`(4, `*`(x, `*`(`^`(y, 3)))), `*`(`^`(y, 4)))
 

> B(5)
 

`*`(`^`(`+`(x, y), 5)) = `+`(`*`(`^`(x, 5)), `*`(5, `*`(`^`(x, 4), `*`(y))), `*`(10, `*`(`^`(x, 3), `*`(`^`(y, 2)))), `*`(10, `*`(`^`(x, 2), `*`(`^`(y, 3)))), `*`(5, `*`(x, `*`(`^`(y, 4)))), `*`(`^`(y...
`*`(`^`(`+`(x, y), 5)) = `+`(`*`(`^`(x, 5)), `*`(5, `*`(`^`(x, 4), `*`(y))), `*`(10, `*`(`^`(x, 3), `*`(`^`(y, 2)))), `*`(10, `*`(`^`(x, 2), `*`(`^`(y, 3)))), `*`(5, `*`(x, `*`(`^`(y, 4)))), `*`(`^`(y...
 

> B(6)
 

`*`(`^`(`+`(x, y), 6)) = `+`(`*`(`^`(x, 6)), `*`(6, `*`(`^`(x, 5), `*`(y))), `*`(15, `*`(`^`(x, 4), `*`(`^`(y, 2)))), `*`(20, `*`(`^`(x, 3), `*`(`^`(y, 3)))), `*`(15, `*`(`^`(x, 2), `*`(`^`(y, 4)))), ...
`*`(`^`(`+`(x, y), 6)) = `+`(`*`(`^`(x, 6)), `*`(6, `*`(`^`(x, 5), `*`(y))), `*`(15, `*`(`^`(x, 4), `*`(`^`(y, 2)))), `*`(20, `*`(`^`(x, 3), `*`(`^`(y, 3)))), `*`(15, `*`(`^`(x, 2), `*`(`^`(y, 4)))), ...
 

> GangUt(%)
 

`+`(`*`(`^`(x, 6)), `*`(6, `*`(`^`(x, 5), `*`(y))), `*`(15, `*`(`^`(x, 4), `*`(`^`(y, 2)))), `*`(20, `*`(`^`(x, 3), `*`(`^`(y, 3)))), `*`(15, `*`(`^`(x, 2), `*`(`^`(y, 4)))), `*`(6, `*`(x, `*`(`^`(y, ...
`+`(`*`(`^`(x, 6)), `*`(6, `*`(`^`(x, 5), `*`(y))), `*`(15, `*`(`^`(x, 4), `*`(`^`(y, 2)))), `*`(20, `*`(`^`(x, 3), `*`(`^`(y, 3)))), `*`(15, `*`(`^`(x, 2), `*`(`^`(y, 4)))), `*`(6, `*`(x, `*`(`^`(y, ...
`+`(`*`(`^`(x, 6)), `*`(6, `*`(`^`(x, 5), `*`(y))), `*`(15, `*`(`^`(x, 4), `*`(`^`(y, 2)))), `*`(20, `*`(`^`(x, 3), `*`(`^`(y, 3)))), `*`(15, `*`(`^`(x, 2), `*`(`^`(y, 4)))), `*`(6, `*`(x, `*`(`^`(y, ...
 

 

Simulering 

Simulering av kast med en terning kan gjøres i Maple med kommandoen rand . 

eller med tilsvarende kommandoer i pakken vgs , 

 

> rand()
 

254323028757
 

> (rand(1 .. 6))()
 

6
 

> TilfeldigTall(1, 6)
 

4
 

> TilfeldigTall(1, 10, 4)
 

[2, 8, 5, 9]
 

> TilfeldigTall(1, 6, desimaltall)
 

1.303801029
 

 

> TilfeldigTall(1, 6, desimaltall, 6)
 

[4.130894813, 5.770066514, 4.446842643, 1.623917961, 3.254204827, 4.194854969]
[4.130894813, 5.770066514, 4.446842643, 1.623917961, 3.254204827, 4.194854969]
 

Normalfordeling 

P(`and`(`<=`(`+`(mu, `-`(sigma)), X), `<=`(X, `+`(mu, sigma)))) = .6827 

> NormalFordeling(0, 1, -1, 1)
 

Plot_2d
 

ca 68.27% av observasjonene ligger mindre enn ett standardavvik fra middelverdien  

P(`and`(`<=`(`+`(mu, `-`(`*`(2, `*`(sigma)))), X), `<=`(X, `+`(mu, `*`(2, `*`(sigma)))))) = .9545
P(`and`(`<=`(`+`(mu, `-`(`*`(2, `*`(sigma)))), X), `<=`(X, `+`(mu, `*`(2, `*`(sigma)))))) = .9545
 

> NormalFordeling(1, 1, -1, 3)
 

Plot_2d
 

ca 95.45% av observasjonene ligger mindre enn to standardavvik fra middelverdien  

P(`and`(`<=`(`+`(mu, `-`(`*`(3, `*`(sigma)))), X), `<=`(X, `+`(mu, `*`(3, `*`(sigma)))))) = .9973
P(`and`(`<=`(`+`(mu, `-`(`*`(3, `*`(sigma)))), X), `<=`(X, `+`(mu, `*`(3, `*`(sigma)))))) = .9973
 

> NormalFordeling(-1, 1, -4, 2)
 

Plot_2d
 

ca 99.73 % av observasjonene ligger mindre enn tre standardavvik fra middelverdien  

Statistikk 

Noen kommandoer i vgs -pakken er: 

 

Eksempel 34 

Gitt [6, 3, 6, 6, 2, 5, 3, 5, 6, 6, 10, 4, 7, 4, 2, 3, 1, 12, 7, 2, 3, 3, 4, 10, 8, 2]  

a) Lag en frekvenstabell. 

b) Finn variasjonsbredden. 

c) Finn hyppigste verdi og regn ut gjennomsnittet. 

d) Tegn et stolpediagram. 

 

Løsning    

> `assign`(L, [6, 3, 6, 6, 2, 5, 3, 5, 6, 6, 10, 4, 7, 4, 2, 3, 1, 12, 7, 2, 3, 3, 4, 10, 8, 2]); -1; %
 

[6, 3, 6, 6, 2, 5, 3, 5, 6, 6, 10, 4, 7, 4, 2, 3, 1, 12, 7, 2, 3, 3, 4, 10, 8, 2]
 

> sort(L)
 

[1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 10, 10, 12]
 

a)  

> evalf(FrequencyTable(L, bins = 8), 4)
 

Array(%id = 18446744080221035206)
 

Vi får samme verdier med FrekvensTabell , men vi får også informasjon om hva kolonnene står for. 

> FrekvensTabell(L, 8, 4)
 

Matrix(%id = 18446744080221029910)
 

b) Variasjonsbredden er 

> Range(L)
 

HFloat(11.0)
 

> Variasjonsbredde(L)
 

HFloat(11.0), Maksimum = 12, Minimum = 1
 

c) Med Mode får vi bare det ene typetallet. 

> Mode(L)
 

3.
 

> Typetall(L)
 

[3, 6], hyppighet = 5
 

gir begge typetallene og også hyppigheten eller frekvensen. 

> mu = Middelverdi(L)
 

mu = HFloat(5.0)
 

d)  

> Histogram(L, frequencyscale = absolute, binwidth = .5)
Histogram(L, frequencyscale = absolute, binwidth = .5)
 

Plot_2d
 

Høyden på hver av søylene angir tallets hyppighet. Bredden på søylene angis med binwidth. 

> StolpeDiagram(L, abs, 24)
 

Plot_2d
 

> Histogram(L, frequencyscale = relative, binwidth = .5)
Histogram(L, frequencyscale = relative, binwidth = .5)
 

Plot_2d
 

Med angivelsen relative er summen av søylenes areal lik 1 

> StolpeDiagram(L, rel, 24, Ingen)
 

Plot_2d
 

 

Logikk 

Maple har følgende logiske operatorer : 

 

 

> `assign`(P, L, not p, [p]); -1SannhetsTabell(P, L)
 

Matrix(%id = 18446744080221033646)
 

> `assign`(P, L, `and`(p, q), [p, q]); -1SannhetsTabell(P, L)
 

Matrix(%id = 18446744080221034246)